Question

Покоящийся рулон полиэтиленовой пленки, насаженный на закрепленную ось, начали разматывать с постоянным ускорением. Через время Т после начала размотки радиус рулона изменился в α раз (0 < α < 1). Какое время t будет еще продолжаться размотка?

Answer 1

Так как рулон разматывается с постоянным ускорением, то его радиус R будет уменьшаться равномерно, то есть с постоянной скоростью. А это  значит, что dR/dt=-a, где a>0 - неизвестное пока положительное число. Отсюда dR=-a*dt, R(t)=-a*∫dt=-a*t+R0, где R0 -начальный радиус рулона. По условию, R(T)=R0-a*T=α*R0, откуда a*T=R0*(1-α) и a=R0*(1-α)/T. Время полной размотки рулона T1 определяется из уравнения R0-a*T1=0, откуда T1=R0/a=T/(1-a). Отсюда искомое время t=T1-T=T*R0*(1-α)/[T-R0*(1-α)]. Ответ: t=T*R0*(1-α)/[T-R0*(1-α)].

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом изменения радиуса рулона полиэтиленовой пленки. Предположим, что радиус рулона в момент начала размотки (t=0) составляет R0, а через время T его радиус уменьшился в α раз.

Как упоминается в условии, разматывание начали с постоянным ускорением. Значит, применим уравнение движения для постоянного ускорения:

d = v0 * t + (1/2) * a * t^2

где d - изменение радиуса рулона, v0 - начальная скорость размотки (в начальный момент t=0 скорость размотки равна нулю), a - ускорение.

Поскольку радиус рулона меняется в α раз, то:

d = R0 - R

где R - радиус рулона через время t.

Теперь мы можем объединить уравнения:

R0 - R = (1/2) * a * t^2

Также, у нас есть соотношение между радиусами:

R = α * R0

Подставим это выражение в уравнение движения:

R0 - α * R0 = (1/2) * a * t^2

Теперь найдем ускорение a:

a = (2 * (R0 - α * R0)) / t^2 a = 2 * (1 - α) * R0 / t^2

Теперь нам нужно выразить время t:

t^2 = 2 * (1 - α) * R0 / a t = sqrt(2 * (1 - α) * R0 / a)

Теперь, если у нас есть изначальные значения R0 и α, и мы найдем ускорение a, мы можем найти время t, которое будет еще продолжаться размотка.