Question

Лягушка массы m сидит на конце доски массы M и длины L. Доска плавает по поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом α к горизонту вдоль доски. Доска и лягушка сносятся течением со скоростью u и лягушка прыгает по направлению против течения. Какой должна быть начальная скорость лягушки, чтобы она оказалась после прыжка на противоположном конце доски. Нужно понятное решение

Answer 1

Объяснение:

Горизонтальная составляющая скорости лягушки равна:

υ гор = υ×cosα

Тогда закон сохранения импульса системы тел запишется:

mυ×cosα = Mυu

Откуда:

υM = mυ×cosα/М

Вертикальная составляющая скорости лягушки υ×sinα. Она равна нулю в наивысшей точке полета лягушки, поэтому:

υ×sinα = gt/2

Откуда время:

t = 2υ×sinα/g

Так как, очевидно, при прыжке лягушки вперед доска начнет плыть в противоположном направлении, то необходимо, чтобы за время t суммарная скорость доски и лягушки (скорость сближения) обеспечила попадание лягушки в противоположный конец доски, то есть:

(υгор = υМ)t = l

(υ×cosα + mυcosα/M) × 2υ×sinα/g = l

υ²×2cosα×sinα/g × (1+m/M) = l

υ²×sin2α/g × (1+m/M) = l

υ = √lg/sin2α×(1+m/M)

Ответ: υ = √lg/sin2α×(1+m/M)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и импульса. Давайте разберемся.

Пусть V будет начальной скоростью лягушки, а v будет ее скоростью после прыжка. Также пусть m будет массой лягушки, M - массой доски, L - длиной доски, u - скоростью течения, α - углом прыжка.

Используем закон сохранения энергии: 1/2 m V^2 + mgh = 1/2 m v^2 + mgh' где h - высота прыжка, h' - высота доски над поверхностью воды.

Высота h связана с длиной доски L и углом прыжка α следующим образом: h = L * sin(α)

Также используем закон сохранения импульса в горизонтальном направлении: mV = mv + ML

Решим уравнение сохранения энергии относительно v: 1/2 m V^2 - 1/2 m v^2 = mgh' - mgh 1/2 m V^2 - 1/2 m v^2 = mg(L * sin(α)) - mg(0) 1/2 m V^2 - 1/2 m v^2 = mgL * sin(α)

Решим уравнение сохранения импульса относительно v: mV = mv + ML v = V - ML/m

Подставим выражение для v в уравнение сохранения энергии: 1/2 m V^2 - 1/2 m (V - ML/m)^2 = mgL * sin(α)

Раскроем скобки и упростим уравнение: 1/2 m V^2 - 1/2 m (V^2 - 2V(ML/m) + (ML/m)^2) = mgL * sin(α) 1/2 m V^2 - 1/2 mV^2 + mVL - 1/2 m (ML/m)^2 = mgL * sin(α) mVL - 1/2 M^2L^2 = mgL * sin(α) VL = (1/2 M^2L^2)/(m - Mg sin(α)) V = (1/2 M^2L)/(m - Mg sin(α))

Таким образом, начальная скорость лягушки должна быть V = (1/2 M^2L)/(m - Mg sin(α)), чтобы она оказалась после прыжка на противоположном конце доски.

Убедитесь, что все единицы измерения согласованы (например, масса в килограммах, длина в метрах и скорость в метрах в секунду), чтобы получить правильный ответ.