Question

Квадрат ABCD, вырезанный из тонкого ровного листа жести, скользит по плоской поверхности. В некоторый момент времени скорость вершины A равна v=1 м/с и направлена к вершине B, а угловая скорость вращения квадрата ω=4 рад/с. Длина стороны квадрата a=25 см. Чему равны величины скоростей остальных вершин квадрата ? Направление обхода вершин квадрата не совпадает с направлением его вращения.

Answer 1

Ответ:

$v_A=1$ м/с

$v_B=1.414$ м/с

$v_C=2.236$ м/с

$v_D=2$ м/с

Объяснение:

Точка Е на рисунке - мгновенный центр скоростей. Рассчитаем радиальную скорость точки А

$v_r=\omega OA=4*\frac{\sqrt{2} a}{2}=4*\frac{\sqrt{2}*0.25 }{2}=0.707$ м/с

Рассчитаем скорость поступательного движения точке пластины по теореме косинусов (учтем что угол между красным и синим вектором 45°)

$v_O=\sqrt{v_A^2+v_r^2-2v_av_rcos135^0}= \sqrt{1^2+0.707^2-2*1*0.707*cos135^0}=$

$=1.58$ м/с

Угол ОЕА совпадает с углом между зеленым и красным векторами (все рассуждения сейчас относятся к точке А), найдем его по теореме синусов

$\frac{v_O}{sin135^0}=\frac{v_r}{sin\angle OEA} => sin\angle OEA=\frac{v_r}{v_O}sin135^0=\frac{0.707}{1.58}sin135^0=0.316$

Опустим перпендикуляр с точки О на сторону AD его длина равна a/2=12.5 см, он же катет в прямоугольном треугольнике. Тогда легко найти отрезок ЕО (по совместительству радиус вектор точки О)

$EOsin\angle OEA=\frac{a}{2} => EO=\frac{a}{2sin\angle OEA}=\frac{0.25}{2*0.316}=0.396$ м

Угловая скорость относительно точки Е

$\omega'=\frac{v_O}{EO}=\frac{1.58}{0.396}=3.98\approx4$ рад/с (все эти выкладки были для доказательства равенства угловых скоростей относительно точек E и O, их можно опустить). Теперь все совсем просто

$EA=\frac{v_A}{\omega'}=\frac{1}{4}=0.25$ м

$v_D=\omega'AD=4*(0.25+0.25)=2$ м/с

$v_B=\omega'BE=4*\sqrt{2}*0.25=1.414$ м/с

$v_C=\omega'EC=4*\sqrt{0.25^2+0.5^2}=2.236$ м/с.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинацию трансляционного и вращательного движения. Сначала найдем скорость центра квадрата (точки O) и скорость вершины B. Затем используем вращательное движение, чтобы найти скорости остальных вершин.

1. Скорость центра квадрата: Скорость центра квадрата складывается из двух компонент:

• Компонента из-за трансляционного движения вершины A: v_A = v = 1 м/с.
• Компонента из-за вращательного движения: v_rot = ω * r, где r - расстояние от центра квадрата до вершины A (половина длины стороны): r = a / 2 = 0.25 м. Таким образом, v_rot = 4 рад/с * 0.25 м = 1 м/с.

Суммируем две компоненты: v_O = v_A + v_rot = 1 м/с + 1 м/с = 2 м/с.

2. Скорость вершины B: Скорость вершины B складывается из двух компонент:

• Компонента из-за трансляционного движения центра квадрата: v_O = 2 м/с.
• Компонента из-за вращательного движения вершины A: v_rot_B = ω * r, где r - расстояние от вершины A до вершины B (длина стороны квадрата): r = a = 0.25 м. Таким образом, v_rot_B = 4 рад/с * 0.25 м = 1 м/с.

Суммируем две компоненты: v_B = v_O + v_rot_B = 2 м/с + 1 м/с = 3 м/с.

3. Скорости остальных вершин: Теперь, зная скорости центра и вершины B, можем использовать вращательное движение, чтобы найти скорости остальных вершин относительно центра квадрата.

Скорости вершин квадрата относительно центра будут иметь одинаковую величину, но разные направления, так как обход вершин не совпадает с направлением вращения.

Итак, скорости вершин C и D относительно центра квадрата будут равны по величине скорости вершины B: v_C = v_D = 3 м/с.

Чтобы найти абсолютные скорости вершин C и D, нужно учесть скорость центра квадрата:

• v_C_абс = v_C + v_O = 3 м/с + 2 м/с = 5 м/с.
• v_D_абс = v_D + v_O = 3 м/с + 2 м/с = 5 м/с.

Итак, скорости вершин квадрата A, C и D равны 2 м/с, 5 м/с и 5 м/с соответственно, а направления обхода вершин не совпадают с направлением его вращения.