Question

Квадрат ABCD, изготовленный из тонкого ровного листа твёрдого материала, скользит по ровной поверхности. В некоторый момент времени вершина A движется по направлению к вершине B, а вершина D движется от вершины C, причём отношение их скоростей vD/vA=3. В этот же момент времени величина скорости вершины C равна 0,5 м/с. Найдите величину угловой скорости вращения квадрата в этот момент времени. Длина стороны квадрата 40 см. Ответ выразите в рад/с, округлив до десятых.

Answer 1

Ответ:

1 рад/с

Объяснение:

Несложно найти положение мгновенного центра скоростей - точки О, которая остается неподвижной, а вся пластина вращается вокруг нее с некоторой угловой скоростью.

Треугольники $AOv_A$ и $DOv_D$ подобны, таким образом

$\frac{AO}{DO}=\frac{v_A}{v_D}=\frac{1}{3}$

Найдем отрезок OD

$OD=\frac{3}{4}AD=30$ см

Расстояние от мгновенного центра скоростей до точки С

$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50$ см

Зная скорость точки С, несложно найти угловую скорость вращения пластины относительно точки О

$\omega=\frac{v_C}{OC}=\frac{0.5}{0.5} =1$ рад/с.

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно выразить угловую скорость вращения квадрата через заданные параметры и данные.

Пусть $\omega$ - угловая скорость вращения квадрата, выраженная в радианах в секунду.

Дано:

• Длина стороны квадрата $a = 40$ см (0.4 м).
• Отношение скоростей вершин $\frac{v_D}{v_A} = 3$.
• Скорость вершины C $v_C = 0.5$ м/с.

Первым шагом выразим скорости вершин квадрата через угловую скорость:

Скорость вершины вдоль стороны квадрата можно выразить как $v = \omega \cdot r$, где $r$ - расстояние от центра квадрата до вершины.

1. Для вершины A: $v_A = \omega \cdot \frac{a}{2} = 0.2 \omega$ м/с.

2. Для вершины D: $v_D = \omega \cdot \frac{a}{2} = 0.2 \omega$ м/с.

3. Для вершины C: $v_C = \omega \cdot \frac{a}{2} = 0.2 \omega$ м/с.

Известно, что $\frac{v_D}{v_A} = 3$, то есть $\frac{0.2 \omega}{0.2 \omega} = 3$, что верно.

Теперь у нас есть уравнение для $\omega$:

$v_C = \omega \cdot \frac{a}{2}$
$0.5 = \omega \cdot 0.2$
$\omega = \frac{0.5}{0.2}$ рад/с
$\omega = 2.5$ рад/с

Ответ: Угловая скорость вращения квадрата в этот момент времени составляет 2.5 рад/с.