Question

1)Равносторонний треугольник ABC, вырезанный из ровного листа жести, скользит по ровной поверхности. В некоторый момент времени вершина A движется точно в направлении вершины B со скоростью 1,2 м/с. Скорость вершины B в этот же момент направлена параллельно стороне AC. Найдите величину скорости центра треугольника в этот момент времени. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых. 2)В условиях предыдущей задачи найдите величину скорости движения вершины C треугольника в тот же момент. Ответ выразите в м/с, округлив до десятых.

Answer 1

Дано:

АВ=ВС=АС;

$\displaystyle v_A=1.2$ м/с;

$\displaystyle v_B||AC$;

__________

Найти: $\displaystyle v_0$, $\displaystyle v_c$

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся понятием мгновенного центра скоростей. Если построить перпендикуляры к векторам $\displaystyle \vec{v_A}$ и $\displaystyle \vec{v_B}$ они пересекутся в точке Е, это и есть мгновенный центр скоростей, вся фигура вращается вокруг него с некоторой угловой скоростью ω. Найдем эту угловую скорость. Определим длину радиус вектора точки А - отрезка АЕ. Заметим, что угол ВАЕ - прямой, а угол ВАС при вершине треугольника 60°, таким образом, угол САЕ равен 30°. Из прямоугольного треугольника DAE имеем:

$\displaystyle AE=\frac{AD}{cos30^0}=\frac{a}{2}\frac{2}{\sqrt{3} }=\frac{a}{\sqrt{3} }$, где а - сторона треугольника.

Угловая скорость:

$\displaystyle \omega=\frac{v_A}{AE}=\frac{1.2\sqrt{3} }{a}$

Теперь выразим расстояние ОЕ:

$\displaystyle OE=2AEsin30^0=\frac{a}{\sqrt{3} }$

1) Скорость точки O:

$\displaystyle v_O=\omega EO=\frac{1.2\sqrt{3} }{a}\frac{a}{\sqrt{3} }=1.2$ м/с

2) Так как АЕ=ЕС, то и скорости точек А и С равны по модулю, т.е.:

$\displaystyle v_C=1.2$ м/с

Ответ: 1,2 м/с; 1,2 м/с.

Answer 2

1. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Лагранжа о перемещении точки. Величина скорости центра треугольника равна средней арифметической скоростей его вершин.

В данном случае скорость вершины A направлена точно в направлении вершины B, поэтому скорость вершины C будет направлена параллельно стороне AB.

Пусть v_A, v_B и v_C обозначают скорости вершин A, B и C соответственно.

Из условия задачи известно, что v_A = 1.2 м/с.

Так как треугольник ABC является равносторонним, то все его стороны и углы равны.

Также из геометрических свойств равностороннего треугольника следует, что отношение скоростей вершин B и C к скорости вершины A равно отношению сторон треугольника:

v_B / v_A = BC / AC v_C / v_A = AC / AB

Так как треугольник равносторонний, то BC = AC = AB.

Таким образом, v_B / v_A = 1 и v_C / v_A = 1.

Отсюда следует, что v_B = v_A = 1.2 м/с и v_C = v_A = 1.2 м/с.

Следовательно, величина скорости центра треугольника в этот момент времени также равна 1.2 м/с.

2. Величина скорости движения вершины C треугольника в тот же момент будет равна v_C = v_A = 1.2 м/с.