Question

В колебательном контуре происходят свободные незатухающие колебания с энергией W = 1 мДж. Пластины плоского конденсатора медленно раздвинули так, что циклическая частота колебаний увеличилась в n = 2 раза. Какую работу совершили при этом против электрических сил? нужно пошаговое решение

Answer 1

В этом колебательном контуре не изменился общий заряд, который бегал туда-сюда от одной пластинки конденсатора к другой. Поэтому амплитуда заряда осталась неизменной.

Так как пластины раздвигали, емкость конденсатора падала обратно пропорционально расстоянию между ними

$C = \varepsilon\varepsilon_0 S / d$

А если частота возросла в два раза, значит емкость уменьшилась в 4 раза, так как частота обратно пропорциональна корню из емкости

$\omega = 1/\sqrt{LC}$

Итак, если емкость уменьшилась в 4 раза, то энергия в контуре, которую можно найти как энергию максимально заряженного конденсатора в 4 раза увеличилась: при неизменном амплитудном заряде конденсатора, его энергия обратно пропорциональна емкости

$W_C = q^2/(2C)$

Значит энергия контура теперь стала 4 мДж. Работа сторонних сил пошла на увеличение энергии от 1 до 4 мДж и равна 3мДж

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово.

1. Исходные данные:

   • Исходная энергия колебательного контура: W = 1 мДж = 0.001 Дж.
   • Увеличение циклической частоты в n = 2 раза.

2. Энергия колебательного контура связана с его емкостью C и напряжением U по формуле: W = 0.5 * C * U^2.

3. Поскольку энергия осталась постоянной (свободные незатухающие колебания), мы можем записать это как: 0.5 * C * U_1^2 = 0.5 * C * U_2^2, где U_1 - исходное напряжение, U_2 - напряжение после раздвигания пластин конденсатора.

4. По условию, циклическая частота увеличилась в n = 2 раза. Циклическая частота (или угловая частота) связана с емкостью и индуктивностью L по формуле: ω = 1 / sqrt(LC).

   Если частота увеличивается в n = 2 раза, то новая частота будет ω_2 = n * ω_1, где ω_1 - исходная частота.

5. Подставив выражение для ω в формулу энергии и используя связь между ω и LC, получим: 0.5 * C * U_1^2 = 0.5 * L * (n * ω_1)^2.

6. Выразим индуктивность L через ω_1 и C: L = 1 / (C * ω_1^2).

7. Подставим это выражение для L обратно в уравнение энергии: 0.5 * C * U_1^2 = 0.5 * (1 / (C * ω_1^2)) * (n * ω_1)^2.

8. Сократим C и упростим: U_1^2 = n^2 * ω_1^2 / ω_1^2, U_1^2 = n^2.

9. Так как у нас есть отношение напряжений до и после раздвигания пластин, можно записать: U_2^2 = n^2 * U_1^2, U_2^2 = n^2 * n^2, U_2^2 = n^4.

10. Наконец, найдем работу, которую нужно совершить, чтобы раздвинуть пластины конденсатора. Работа против электрических сил определяется изменением энергии: ΔW = W_2 - W_1, ΔW = 0.5 * C * U_2^2 - 0.5 * C * U_1^2, ΔW = 0.5 * C * (n^4 - n^2).

Это и есть искомая работа.

Таким образом, работа, которую нужно совершить против электрических сил, равна 0.5 * C * (n^4 - n^2), где n = 2.