Question

Вершину A трапеции ABCD соединили с серединой боковой стороны CD. Площади полученных четырёхугольника и треугольника равны 5 и 2 соответственно. Найдите отношение меньшего основания этой трапеции к большему основанию.

Answer 1

Пусть меньшее основание b, большее а, высота трапеции h, тогда высота треугольника h/2, площадь трапеции равна (а+b)*h/2=7, а площадь треугольника а*h/4=2, составим систему уравнений

h*(а+b)=14

аh=8

Разделим первое уравнение на второе (а+b)/а=14/8;⇒1+(b/а)=7/4;

b/а=3/4.

Answer 2

Пусть AB и CD - большее и меньшее основания трапеции ABCD соответственно, M - середина боковой стороны CD, AM = MC. Также пусть E - точка пересечения AM и BC.

Сначала рассмотрим площадь четырёхугольника AMBC. Поскольку AM = MC, то AMBC можно разделить на два треугольника, каждый из которых имеет равную площадь. Таким образом, площадь AMBC равна сумме площадей двух равных треугольников.

Площадь треугольника AME равна половине площади четырёхугольника AMBC (так как AME - это половина AMBC).

Площадь треугольника AME равна (1/2) * AM * ME, а площадь треугольника ABC равна (1/2) * AB * CE.

У нас есть информация о площадях треугольников AME и ABC:

Площадь AME = 2, Площадь ABC = 5.

Таким образом, у нас есть уравнение:

(1/2) * AM * ME = 2, (1/2) * AB * CE = 5.

Так как AM = MC, то ME = 2 * MC.

Подставим это в первое уравнение:

(1/2) * AM * (2 * MC) = 2, AM * MC = 2, AM^2 = 2.

Аналогично, CE = 2 * BE, так как CE = CD - DE, а DE = MC.

Подставим это во второе уравнение:

(1/2) * AB * (2 * BE) = 5, AB * BE = 5.

Теперь у нас есть два уравнения:

AM^2 = 2, AB * BE = 5.

Из первого уравнения находим:

AM = √2.

Из второго уравнения находим:

BE = 5 / AB.

Теперь мы можем найти соотношение AB к CD (большее основание к меньшему основанию):

AB / CD = AB / (AM + MC) = AB / (√2 + √2) = AB / (2√2) = 1 / (2√2) = √2 / 4.

Итак, отношение меньшего основания к большему основанию равно √2 / 4.