Question

Найдите угол между векторами скорости и ускорения точки на ободе вертикального колеса, катящегося без проскальзывания по неподвижной горизонтальной поверхности. Точка находится в нижней задней части колеса, и её радиус составляет угол 40∘ с вертикалью. Ответ запишите в градусах, округлив до целого числа.

Answer 1

Ответ:

20°

Объяснение:

Точка А (где колесо касается земли) является мгновенным центром скоростей. Значит скорость любой точки колеса в данный момент времени направлена перпендикулярно радиус-вектору, проведенному из этой точки в данную. Также и скорость нашей точки B $\vec{v}$. Её можно разложить на две составляющие - касательную скорость $\vec{v}_\tau$ и скорость поступательного движения колеса $\vec{v}_0$. Поступательная скорость от точки к точке на ободе не меняется, значит не создает никакого ускорения, а вот касательная, оставаясь низменной по модулю, все время меняет свое направление, порождая центростремительное ускорение $\vec{a}_n$. Собственно между векторами  $\vec{v}$ и $\vec{a}_n$ нам надо найти угол.

Треугольник АОВ равнобедренный (его боковые стороны это радиусы колеса) значит угол АВО равен 70°, но угол между вектором $\vec{v}$ и отрезком АВ прямой, значит искомый угол $\alpha =90^0-70^0=20^0$.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим свойством векторного произведения векторов скорости и радиуса колеса.

Угол между векторами скорости и ускорения можно вычислить, используя следующую формулу:

θ = arctan(a / v),

где a - модуль ускорения, v - модуль скорости.

Поскольку колесо катится без проскальзывания, скорость точки на ободе колеса направлена вдоль радиуса, и ее модуль равен произведению модуля угловой скорости колеса ω на радиус колеса R:

v = ωR.

Также, модуль ускорения точки на ободе колеса связан с модулем углового ускорения α следующим соотношением:

a = αR.

Учитывая, что точка находится в нижней задней части колеса, угол между радиусом колеса и вертикалью составляет 40°. Это означает, что угол между векторами скорости и радиусом колеса также будет 40°.

Теперь мы можем выразить модули скорости и ускорения через модули угловой скорости и углового ускорения:

v = ωR, a = αR.

Подставляя эти значения в формулу для вычисления угла θ, получим:

θ = arctan(a / v) = arctan(αR / ωR) = arctan(α / ω).

Учитывая, что α / ω = tan(40°), мы можем вычислить угол θ:

θ = arctan(tan(40°)) ≈ 40°.

Таким образом, угол между векторами скорости и ускорения точки на ободе вертикального колеса составляет около 40°.