Question

На конце стержня, имеющего длину 30 см и вращающегося вокруг точки O, закреплен груз массы 50 кг. Найдите частоту вращения, при которой произойдет разрыв стержня, если, для того чтобы разорвать стержень неподвижной нагрузкой, к его концу нужно подвесить массу, равную 1 т?

Answer 1

Ответ:

4,1 с⁻¹

Объяснение:

Сила натяжения стержня будет сообщать грузу центростремительное ускорение, согласно второму закону Ньютона

$T=ma_c=m\omega^2R$ где m - масса груза, ω - угловая частота вращения стержня, R - радиус траектории движения груза (в данном случае совпадает с длиной стержня).

Потребная для разрушения стержня сила

$T_{max}=Mg$

Частота вращения

$n=\frac{\omega}{2\pi }$

Подставляем все это во второй закон Ньютона

$Mg=4m\pi ^2n^2R$

Откуда, частота вращения стержня

$n=\sqrt{\frac{Mg}{4m\pi ^2R} }=\sqrt{\frac{1000*10}{4*50*3.14^2*0.3} }=4.1$ об/с.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать условие равновесия моментов сил вокруг точки O.

При вращении стержня с грузом массой 50 кг вокруг точки O возникает момент силы тяжести этого груза. При некоторой частоте вращения стержня, этот момент силы будет равен моменту силы, создаваемой неподвижной нагрузкой массой 1 т (1000 кг), подвешенной к концу стержня. Если моменты сил равны, то разрыв стержня происходит.

Момент силы тяжести груза массой 50 кг равен: М1 = масса × ускорение свободного падения × расстояние от точки O до груза = 50 кг × 9.8 м/с^2 × 30 см = 147 N·м

Момент силы, создаваемой неподвижной нагрузкой массой 1 т подвешенной к концу стержня, равен: М2 = масса × ускорение свободного падения × расстояние от точки O до нагрузки = 1000 кг × 9.8 м/с^2 × 30 см = 29400 N·м

Для разрыва стержня моменты сил должны быть равны: М1 = М2

Теперь мы можем найти частоту вращения стержня, при которой это условие выполняется. Для этого воспользуемся формулой для момента инерции прямоугольного стержня, вращающегося вокруг одного из своих концов:

Момент инерции стержня относительно точки O: I = (1/3) × масса × длина^2 = (1/3) × 50 кг × (30 см)^2 = 5000 г·см^2 = 0.5 кг·м^2

Момент инерции неподвижной нагрузки массой 1 т относительно точки O равен: I = масса × длина^2 = 1000 кг × (30 см)^2 = 900000 г·см^2 = 90 кг·м^2

Теперь мы можем записать условие равновесия моментов сил:

Момент инерции стержня × угловое ускорение = Момент инерции нагрузки × угловое ускорение

0.5 кг·м^2 × угловое ускорение = 90 кг·м^2 × угловое ускорение

Угловые ускорения сокращ