Question

Две точки одновременно начали движение с одинаковой постоянной скоростью 0,5 см/с по двум концентрическим окружностям, одна по окружности радиусом 5 см, другая – 10 см. Найдите угол между направлениями ускорений точек через 1 мин после начала движения, если в начальный момент точки находились на одном радиусе.

Answer 1

Ответ:

172°

Объяснение:

Формально здесь надо определить угол между центростремительными ускорениями точек спустя 1 минуту после начала движения. Нам потребуется записать уравнения движения точек, для этого найдем их угловые скорости

$\omega _1=\frac{v}{R_1}=\frac{5*10^-^3}{5*10^-^2}=0.1$ рад/с

$\omega _2=\frac{v}{R_2}=\frac{5*10^-^3}{0.1} =0.05$ рад/с

Их уравнения движения

$\phi_1(t)=\omega_1t=0.1t$ рад

$\phi_2(t)=\omega_2t=0.05t$ рад

Спустя 1 минуту (60 секунд) их угловые координаты

$\phi_1(60)=0.1*60=6$ рад (344°)

$\phi_2(60)=0.05*60=3$ рад (172°)

Построим их на рисунке

Искомый угол между направлениями ускорений

$\alpha =\phi_1-\phi_2=344^0-172^0=172^0$.

Answer 2

Первым делом давайте найдем угол, на который точки сместились по окружностям за 1 минуту. Формула для расчета длины дуги окружности:

$L = r \cdot \theta,$

где $L$ - длина дуги, $r$ - радиус окружности, $\theta$ - угол в радианах, на который сместилась точка.

Для окружности с радиусом 5 см: $L_1 = 5 \cdot \theta_1.$

Для окружности с радиусом 10 см: $L_2 = 10 \cdot \theta_2.$

Так как скорость постоянная и равна $0.5$ см/с, то за 1 минуту (60 секунд) точки пройдут следующие расстояния:

Для окружности с радиусом 5 см: $L_1 = v \cdot t = 0.5 \cdot 60 = 30$ см.

Для окружности с радиусом 10 см: $L_2 = v \cdot t = 0.5 \cdot 60 = 30$ см.

Так как $L_1 = 5 \cdot \theta_1$ и $L_2 = 10 \cdot \theta_2$, то: $5 \cdot \theta_1 = 30,$ $10 \cdot \theta_2 = 30.$

Из этих уравнений можно найти значения углов: $\theta_1 = \frac{30}{5} = 6$ радиан, $\theta_2 = \frac{30}{10} = 3$ радиан.

Теперь у нас есть углы, на которые сместились точки по окружностям. Чтобы найти угол между направлениями их ускорений, мы можем использовать геометрическое соотношение между углами на окружности.

В начальный момент времени точки находились на одном радиусе. Значит, начальный угол между радиусами (или направлениями движения точек) равен нулю.

Таким образом, угол между направлениями ускорений точек через 1 мин после начала движения равен разности углов, на которые сместились точки: $\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1 = 3 - 6 = -3$ радиан.

Отрицательное значение угла указывает на то, что точки сместились в противоположных направлениях по окружностям.

Итак, угол между направлениями ускорений точек через 1 мин после начала движения составляет $3$ радиан или $3 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 171.87^\circ$.