Question

К двум стержням подвешен груз Р, как изображено на рисунке. Стержень / круглого поперечного сечения диаметром 30 мм с допускаемым напряжением материала 1600 кг/см7, а стержень 2 тоже круглого поперечного сечения, но диаметром 40 мм и с допускаемым напряжением материала 600 кг/см2. Какой наибольший груз Р может выдержать эта конструкция?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1)

Освобождаем систему от связей.

2)

Площади стержней:

S₁ = π·d₁²/4 = 3,14·(30·10⁻³)² / 4 ≈ 0,71·10⁻³ м²

S₂ = π·d₂²/4 = 3,14·(40·10⁻³)² / 4 ≈ 1,26·10⁻³ м²

3)

Допустимые напряжения:

σ₁ = 1 600 кГ/см² = 1 600 · 100 кПа = 1,6·10⁸ Па

σ₁ = 600 кГ/см² = 600 · 100 кПа = 0,6·10⁸ Па

4)

Силы:

F₁ = σ₁·S₁ = 1,6·10⁸·0,71·10⁻³ ≈  114 кН

F₂ = σ₂·S₂ = 0,6·10⁸·1,26·10⁻³ ≈  75,6 кН

5)

Проецируем эти силы на ось OY:

F₁y = F₁·cos 30°

F₂y = F₂·cos 30°

Тогда максимальный вес груза:

P = (F₁ + F₂)·cos 30° = (114+75,6)·0,866 ≈ 156 кН

Answer 2

Для определения наибольшего груза (силы) P, который может выдержать данная конструкция, мы должны учесть ограничения на напряжения, которые допускаются для каждого из стержней.

Для стержня 1 (диаметр 30 мм и допускаемое напряжение 1600 кг/см²): Мы можем использовать формулу для напряжения в стержне, вызванного изгибом:

$\sigma = \frac{M \cdot c}{I}$

где:

• $\sigma$ - напряжение
• $M$ - изгибающий момент
• $c$ - расстояние от центра стержня до крайней волокнистой линии
• $I$ - момент инерции поперечного сечения

Для стержня 1, который вертикально подвешен, изгибающий момент будет вызван весом груза P, и его можно выразить как $M = \frac{P \cdot L}{2}$, где L - длина стержня. Момент инерции $I$ для круглого поперечного сечения можно выразить как $I = \frac{\pi \cdot d^4}{64}$, где $d$ - диаметр стержня.

Таким образом, формула для напряжения в стержне 1 будет:

$\sigma_1 = \frac{32 \cdot P \cdot L}{\pi \cdot d_1^3}$

где $d_1 = 30$ мм - диаметр стержня 1.

Допускаемое напряжение $\sigma_{\text{доп}} = 1600$ кг/см².

Теперь рассмотрим стержень 2 (диаметр 40 мм и допускаемое напряжение 600 кг/см²). Аналогично, для этого стержня можно записать формулу напряжения:

$\sigma_2 = \frac{32 \cdot P \cdot L}{\pi \cdot d_2^3}$

где $d_2 = 40$ мм - диаметр стержня 2.

Допускаемое напряжение $\sigma_{\text{доп}} = 600$ кг/см².

Чтобы конструкция была безопасной, напряжения в обоих стержнях не должны превышать допускаемые значения:

$\sigma_1 \leq \sigma_{\text{доп}_1}$ $\sigma_2 \leq \sigma_{\text{доп}_2}$

Подставим формулы для напряжений и допускаемых значений:

$\frac{32 \cdot P \cdot L}{\pi \cdot d_1^3} \leq 1600$ $\frac{32 \cdot P \cdot L}{\pi \cdot d_2^3} \leq 600$

Решая эти неравенства относительно P, мы получим наибольший груз P, который может выдержать конструкция.

Пожалуйста, предоставьте длину стержней L, и я смогу дать более точный ответ.