Question

Из хорошей рогатки, расположенной у подножия горы, в направлении её вершины производится выстрел камнем под углом α=60° к горизонту. Начальная скорость камня равна v0=50 м/с. Гора имеет плоский склон, наклонённый к горизонту под углом β=45°. Ускорение свободного падения равно 10 м/с2. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Определите время τ полёта камня до его падения на склон горы. Ответ выразите в с, округлите до десятых.

Answer 1

Ответ:

В задачах на кинематику всегда нужно рисовать схему движения тела, причем крупно, наносить оси, на которые проецируем векторы скорости, ускорения.

Мне рисовать схему неудобно на нетбуке без мышки =), поэтому выкладывать не буду - только решение.

Нарисуем оси Y и X, которые пересекаются у подножия склона. Составим кинематические уравнения движения вдоль каждой оси, для чего с проецируем вектор скорости и ускорения на каждую ось.

Для оси Х:

x(t)=x(0)+Vx(0)*t+g_x*(t^2)/2

x(0)=0; Vx(0)=V(0)*cos(60); g_x=0

получаем: x(t)=V(0)*t*cos(60)

Для оси Y:

y(t)=y(0)+Vy(0)*t+g_y*(t^2)/2

y(0)=0; Vy(0)=V(0)*sin(60); g_y= -g

получаем: y(t)=V(0)*t*sin(60) - g(t^2)/2

Уравнения движения мы получили. Теперь нам нужно узнать, в какой точке камень коснется склона.

Так как угол наклона склона 30 градусов, то координаты точки падения камня находятся из условия: y(t)=x(t)*tan(30), это наглядно видно из схемы.

Дело за малым - приравниваем:

V(0)*t*sin(60)-g(t^2)/2=V(0)*t*cos(60)*tan(30)

Из этого уравнения находим время полета камня до момента касания склона:

t=2*V(0)*[sin(60)-cos(60)*tan(30)]/g ==> t=1,178 сек

x(t)=x(1,178)=5,89 м

y(t)=y(1,178)=3,4 м

Теперь по теореме Пифагора находим расстояние от точки броска:

S(t)=[x(t)^2+y(t)^2]^(1/2)=[5,89^2+3,4^2]^(1/2)=6,8 м

после округления до целых получаем ответ: 7 м.

Объяснение:

Ответ: 7м.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем разбить движение камня на две составляющие: горизонтальное и вертикальное движение.

1. Горизонтальное движение: Из условия задачи известно, что начальная скорость камня составляет угол 60° к горизонту, а угол склона горы составляет 45°. Горизонтальная составляющая скорости камня останется постоянной на протяжении всего полета. Горизонтальная скорость можно найти по формуле: $v_x = v_0 \cdot \cos(\alpha),$ где $v_0 = 50 \, \text{м/с}$ - начальная скорость, $\alpha = 60°$ - угол броска.

2. Вертикальное движение: Вертикальное движение камня будет описываться уравнением движения свободно падающего тела: $y = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2,$ где $y_0 = 0$ - начальная высота (подножие горы), $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)$ - начальная вертикальная скорость, $g = 10 \, \text{м/с}^2$ - ускорение свободного падения, $t$ - время полета.

Камень достигнет вершины горы, когда его вертикальная координата $y$ будет равна высоте горы $h$, которая определяется как $h = h_0 \cdot \sin(\beta)$, где $h_0$ - начальное расстояние от подножия горы до вершины.

3. Найдем время полета: Подставим $y = h$ и решим уравнение относительно $t$: $h_0 \cdot \sin(\beta) = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2.$

Сначала найдем $v_{0y}$: $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha) = 50 \, \text{м/с} \cdot \sin(60°).$

Подставим все известные значения и решим уравнение для $t$. Округлим ответ до десятых.

$h_0 \cdot \sin(45°) = (50 \, \text{м/с} \cdot \sin(60°))t - \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot t^2.$

$t^2 - 5t + \frac{h_0 \cdot \sin(45°)}{5} = 0.$

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{h_0 \cdot \sin(45°)}{5}.$

После вычисления дискриминанта $D$, используем формулу для нахождения времени $t$: $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$

Выбираем положительное значение времени ($t > 0$) и округляем до десятых.

Таким образом, вычислив $t$, мы найдем время полета камня до его падения на склон горы.