Question

Два тела вдоль одного круга 0,3 рад/с и 0,2 рад/с движется в одном направлении со скоростями. Начальный момент времени угол между их радиус-векторами 60 градусов. Через какое время они встретятся?

Answer 1

Объяснение:

При поступательном движении тела все точки тела движутся одинаково, и, вместо того чтобы рассматривать движение каждой точки тела, можно рассматривать движение только одной его точки.

Основные характеристики движения материальной точки: траектория движения, перемещение точки, пройденный ею путь, координаты, скорость и ускорение.

Линию, по которой движется материальная точка в пространстве, называют траекторией.

Перемещением материальной точки за некоторый промежуток времени называется вектор перемещения ∆r=r-r0, направленный от положения точки в начальный момент времени к ее положению в конечный момент.

Скорость материальной точки представляет собой вектор, характеризующий направление и быстроту перемещения материальной точки относительно тела отсчета. Вектор ускорения характеризует быстроту и направление изменения скорости материальной точки относительно тела отсчета.

1.1.2 Равномерное прямолинейное движение

Равномерным прямолинейным движением называется такое прямолинейное движение, при котором материальная точка (тело) движется по прямой и в любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Вектор скорости равномерного прямолинейного движения материальной точки направлен вдоль ее траектории в сторону движения. Вектор скорости при равномерном прямолинейном движении равен вектору перемещения за любой промежуток времени, поделенному на этот промежуток времени:

Примем линию, по которой движется материальная точка, за ось координат ОХ, причем за положительное направление оси выберем направление движения точки. Тогда, спроецировав векторы r и v, на эту ось, для проекций ∆rx = |∆r| и ∆vx = |∆v| этих векторов мы можем записать:

, отсюда получаем уравнение равномерного движения:

∆rx = vx · t .

Т.к. при равномерном прямолинейном движении S = |∆r|, можем записать: Sx = vx · t. Тогда для координаты тела в любой момент времени имеем:

х = х0 + Sx = х0 + vx · t,

где х0 - координата тела в начальный момент t = 0.

Пример 1. Уравнение движения тела дано в виде х = 4 - 3t. Определить начальную координату тела, скорость движения и перемещения тела за 2 секунды.

Дано:

х = 4 - 3t,

t1 = 2с;

х0 - ? vx - ? S - ?

Решение: Сравним данное уравнение движения тела с уравнением движения в общем виде: х = х0 + vx t и х = 4 - 3t.

Очевидно, что х0 = 4м, vx = - 3м/с (знак "-" означает, что направление скорости не совпадает с направлением оси ОХ, т.е. они противоположно направлены). Перемещение тела найдем по формуле: S = х - х0. Конечную координату х можно определить, подставляя в уравнение движения время t1: х = 4 - 3t1. В общем виде формула перемещения: S = 4 - 3t1 - х0 = 4 - 3t1 - 4 = - 3t1 = -3 · 2 = - 6 м (Тело движется в отрицательном направлении оси ОХ).

Ответ: х0 = 4м; vx = -3м/с; S = -6м.

Пример 2.Лодочник перевозит пассажиров с одного берега на другой за время t =10 мин. по траектории АВ. Скорость течения реки vр = 0,3 м/с, ширина реки 240 м. С какой скоростью v относительно воды и под каким углом α к берегу должна двигаться лодка, чтобы достичь другого берега за указанное время?

Дано:

vр = 0,3 м/с,

L = 240 м,

t = 10 мин = 660 с.

v' - ? α - ?

Рисунок 1.1

Решение: Примем берег за неподвижную систему отсчета. Тогда относительно берега скорость лодки равна:

Эта скорость (рисунок 1.1), является суммой двух скоростей: скорости лодки относительно воды v' (скорости относительно подвижной системы отсчета) и скорости реки vр (скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной). По закону сложения скоростей: v =vр + v'. Так как по условию задачи скорость лодки относительно берега направлена вдоль АВ, а скорость реки перпендикулярно АВ, то скорость лодки относительно воды(по теореме Пифагора):

Искомый угол можно найти из выражения:

Answer 2

Чтобы определить время встречи двух тел, необходимо выяснить, когда угол между их радиус-векторами станет равным нулю.

Угол между радиус-векторами тел будет уменьшаться со скоростью суммы их угловых скоростей. Поэтому у нас есть следующее уравнение:

θ = θ₀ - (ω₁ + ω₂)t,

где: θ - угол между радиус-векторами, θ₀ - начальный угол между радиус-векторами, ω₁ - угловая скорость первого тела, ω₂ - угловая скорость второго тела, t - время.

Подставим известные значения в уравнение:

0 = 60° - (0,3 рад/с + 0,2 рад/с) * t.

Теперь решим это уравнение для t:

0,5 рад/с * t = 60°, t = 60° / 0,5 рад/с, t = 120 секунд.

Таким образом, тела встретятся через 120 секунд (или 2 минуты).