Question

Помогите пожалуйста Даю 50 Балов!!!! Колебательный контур состоит из индуктивности и двух параллельно соединенных конденсаторов емкостью 4×10⁻¹¹ каждый. После того, как эти конденсаторы соединили последовательно, резонансная частота контура изменилась на Δ∨=2×10⁶ Гц. Найти индуктивность контура.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1)

Конденсаторы соединены параллельно, поэтому:

C₁ = 2·С = 2·4·10⁻¹¹ = 8·10⁻¹¹ Ф

Частота:

ν₁ = 1 / √ (L·C₁) = 1 / √ (L·8·10⁻¹¹) = 1,12·10⁵ / √L

2)

Конденсаторы соединены последовательно, поэтому:

C₂ = С/2 = 4·10⁻¹¹ / 2 = 2·10⁻¹¹ Ф

Частота:

ν₂ = 1 / √ (L·C₂) =  1 / √ (L·2·10⁻¹¹) = 2,24·10⁵ / √L

3)

Разность

Δν = ν₂ - ν₁ = 2,24·10⁵ / √L - 1,12·10⁵ / √L

2·10⁶ =  1,12·10⁵ / √L

20 = 1,12 / √L

√L = 1,12/20 = 0,056

L = 0,056² ≈ 0,003 Гн   или   3 мГн

Answer 2

Для начала давайте рассмотрим резонансную частоту $f_1$ контура до изменений. Резонансная частота колебательного контура определяется формулой:

$f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $L$ - индуктивность, $C$ - емкость конденсатора.

После соединения конденсаторов последовательно, емкость контура увеличилась в два раза, то есть $C' = 2C$. Тогда новая резонансная частота $f_2$ будет:

$f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(C')}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{2LC}}$

Изменение резонансной частоты $\Delta f = f_2 - f_1$ можно записать как:

$\Delta f = \frac{1}{2\pi\sqrt{2LC}} - \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Дано, что $\Delta f = 2 \times 10^6$ Гц, то есть:

$2 \times 10^6 = \frac{1}{2\pi\sqrt{2LC}} - \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Теперь давайте решим это уравнение относительно $L$:

$\frac{1}{2\pi\sqrt{2LC}} - \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = 2 \times 10^6$

$\frac{1}{\sqrt{2LC}} - \frac{1}{\sqrt{LC}} = 2 \times 10^6 \times 2\pi$

Теперь найдем $L$:

$\frac{1}{\sqrt{2LC}} - \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{\sqrt{LC} - \sqrt{2LC}}{\sqrt{2LC} \cdot \sqrt{LC}} = \frac{\sqrt{LC}(1 - \sqrt{2})}{\sqrt{2}LC} = 2 \times 10^6 \times 2\pi$