Question

Тіло масою 10г здійснює гармонічні коливання за законом косинуса. Максимальне зміщення тіла від положення рівноваги становить 5 см, період коливань – 3 с, початкова фаза коливань дорівнює нулю. Напишіть рівняння коливань, визначте зміщення, швидкість та кінетичну енергію тіла через 7 с після початку коливань.

Answer 1

φо=0 рад

А= 5см = 0,05 м

Т=3 с

t=7 c

m=10 г= 0,01 кг

x, v, Ek -?

x=Acos(ωt+φо)

x=Acos(ωt)

ω=2π/T=2π/3

⇒ x=0,05cos(2πt/3) (рівняння коливань)

x=0,05cos(2*7π/3) = 0,05cos(14π/3) =

= 0,05cos((6+1)2π/3) = 0,05cos(6*2π/3 + 2π/3) =

= 0,05cos(4π + 2π/3) = 0,05cos(2π/3)  = 0

Оскільки зміщення тіла в момент часу 7 с дорівнює нулю, то його швидкість максимальна (як і кінетична енергія), адже потенційна енергія мінімальна в точці рівноваги

v=Aω=0,05*2π/3≈0,1047 м/с =10,47 см/с

Ek = mv²/2 = 0,01*(0,1047)²/2 ≈ 5,5*10⁻⁵ Дж = 55 мкДж

Answer 2

Для гармонічних коливань можна використовувати наступне рівняння коливань:

$x(t) = A \cos(2\pi f t + \phi),$

де:

• $x(t)$ - зміщення від положення рівноваги в момент часу $t$,
• $A$ - амплітуда коливань (максимальне зміщення),
• $f$ - частота коливань (зворотна величина до періоду),
• $t$ - час,
• $\phi$ - початкова фаза.

У вас вже є деякі дані:

• Амплітуда ($A$) = 5 см = 0,05 м.
• Період ($T$) = 3 с.
• Початкова фаза ($\phi$) = 0 (за умовою).

Знаючи період, можемо знайти частоту коливань:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{3 \, \text{с}} \approx 0,333 \, \text{Гц}.$

Тепер ми можемо записати рівняння коливань для даного тіла:

$x(t) = 0,05 \, \text{м} \cdot \cos(2\pi \cdot 0,333 \, \text{Гц} \cdot t).$

Тепер, щоб знайти зміщення, швидкість і кінетичну енергію тіла через 7 с після початку коливань ($t = 7 \, \text{с}$), давайте розрахуємо ці значення:

1. Зміщення ($x(7 \, \text{с})$): $x(7 \, \text{с}) = 0,05 \, \text{м} \cdot \cos(2\pi \cdot 0,333 \, \text{Гц} \cdot 7 \, \text{с}) \approx 0,05 \, \text{м} \cdot \cos(4,667\pi) \approx -0,05 \, \text{м}.$

2. Швидкість ($v(7 \, \text{с})$) - похідна від зміщення по часу: $v(t) = -A \cdot 2\pi f \sin(2\pi f t).$

Підставляючи значення, отримуємо: $v(7 \, \text{с}) = -0,05 \, \text{м} \cdot 2\pi \cdot 0,333 \, \text{Гц} \cdot \sin(2\pi \cdot 0,333 \, \text{Гц} \cdot 7 \, \text{с}) \approx -0,66 \, \text{м/с}.$

3. Кінетична енергія ($KE(7 \, \text{с})$) тіла масою 10 г через 7 с: $KE(t) = \frac{1}{2} m v^2(t),$

де $m$ - маса тіла (10 г = 0,01 кг). Підставляючи значення швидкості, отримуємо: $KE(7 \, \text{с}) = \frac{1}{2} \cdot 0,01 \, \text{кг} \cdot (-0,66 \, \text{м/с})^2 \approx 0,0217 \, \text{Дж}.$

Отже, через 7 с після початку коливань, зміщення тіла становить -0,05 м (в протилежну сторону від положення рівноваги), швидкість -0,66 м/с, а кінетична енергія дорівнює приблизно 0,0217 Дж.