Question

Шар массой 1кг, катится горизонтально со скоростью U_1, он столкнулся с неподвижным шаром большей массы и потерял при этом 80% своей кинетической энергии. Какова масса второго шара? Удар прямой, абсолютно упругий, центральный.

Answer 1

пусть шар катится в положительном направлении оси Ох, и его скорость полностью спроецируется на эту ось.

тогда запишем ЗСИ и ЗСЭ для данной ситуации:

$(1)~~~~~~~m\vec v_1=m\vec v_2 + M\vec u\\~~~~~~\underline{Ox}~~mv_1=-mv_2+Mu$,

так как по условию m<M, то после столкновения первый шар скорее всего поедет в обратном направлении. М - неизвестная масса второго шара, v₂ и u - скорости, которые приобретут первый и второй шар соответственно после столкновения.

ЗСЭ:

$(2)~~~~\frac{mv_1^2}{2} =\frac{mv_2^2}{2} +\frac{Mu^2}{2} ~|\times 2\\~~~~~~~~~mv^2_2=mv_2^2+Mu^2$

Но т.к. 80% кинетической энергии первого шара потерялось, то есть перешло второму шару, то запишем третье уравнение:

$(3)~~~~~\frac{1}{5} \frac{mv_1^2}{2} =\frac{mv_2^2}{2} \\~~~~~~~~~~\frac{1}{5} v_1^2=v^2_2\\~~~~~~~~~~v_2=v_1\sqrt{\frac{1}{5} }$

Из (2) и (3):

$\frac{4}{5} mv_1^2=Mu^2\\u^2=\frac{4}{5} \frac{m}{M} v_1^2\\u=v_1\sqrt{\frac{4}{5} \frac{m}{M} }$

Подстановка в (1):

$mv_1=Mv_1\sqrt{\frac{4}{5}\frac{m}{M} } -mv_1\sqrt{\frac{1}{5}} \\m=\sqrt{\frac{4}{5} Mm} -m\sqrt{\frac{1}{5} } \\m(1+\sqrt{\frac{1}{5} } )=\sqrt{\frac{4}{5} Mm} \\\sqrt{\frac{5}{4} } \times m(1+\sqrt{\frac{1}{5} } )=\sqrt{ Mm} \\\sqrt{\frac{5}{4}m } \times(1+\sqrt{\frac{1}{5} } )=\sqrt{ M} \\\\\frac{5}{4}m (1+\sqrt{\frac{1}{5} } )^2=M$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся законами сохранения импульса и кинетической энергии.

Дано: Масса первого шара, m1 = 1 кг Скорость первого шара перед столкновением, u1 Потеря кинетической энергии после столкновения, ΔE = 80%

Запишем законы сохранения: 1. Сохранение импульса: m1 * u1 = m2 * v2, где m2 - масса второго шара, v2 - скорость второго шара после столкновения.

2. Сохранение кинетической энергии: (1/2) * m1 * u1^2 * (1 - ΔE) = (1/2) * m2 * v2^2, где ΔE = 0.8

Для удобства решения, выразим скорость второго шара после столкновения v2 через переменную x: v2 = x * u1

Подставляем второе уравнение в первое: m1 * u1 = m2 * (x * u1) m1 = m2 * x

Подставляем выражение для m1 во второе уравнение: (1/2) * (m2 * x) * u1^2 * (1 - ΔE) = (1/2) * m2 * (x * u1)^2 x * (1 - ΔE) = x^2

Теперь найдем значение x: x^2 - x + ΔE = 0

Решим квадратное уравнение: D = 1 - 4 * ΔE x1,2 = (-(-1) ± √D) / 2 x1,2 = (1 ± √(1 - 4 * ΔE)) / 2

Подставим значение ΔE = 0.8: x1 = (1 + √(1 - 4 * 0.8)) / 2 = (1 + √(-2.2)) / 2 - отрицательный корень, не подходит x2 = (1 - √(1 - 4 * 0.8)) / 2 = (1 - √(-2.2)) / 2 - отрицательный корень, не подходит

Ответ: задача не имеет решения, так как корни уравнения являются комплексными числами, что физически невозможно.