Question

Решите Платформа з піском масою 1т стоїть на рейках на горизонтальній ділянці шляху. У пісок попадає снаряд масою m = 15 кг і застряє в ньому. Знайти швидкість, з якою буде рухатись платформа, якщо в момент попадання швидкість снаряду була 400 м/с , а її напрям – зверху вниз під кутом α=45˚ до горизонту.

Answer 1

Давайте позначимо швидкість платформи після удару як V, а швидкість снаряду після удару як v.

Момент імпульсу до удару: маса платформи з піском * швидкість платформи = 1000 * V

Момент імпульсу після удару: (маса платформи з піском + маса снаряду) * швидкість після удару = (1000 + 15) * v

За законом збереження імпульсу ми маємо:

1000 * V = (1000 + 15) * v

Тепер ми можемо знайти швидкість платформи V. Для цього розділимо обидві частини рівняння на 1000:

V = (1000 + 15) * v / 1000

Тепер потрібно знайти швидкість снаряду після удару v. Ми можемо розкласти швидкість снаряду на дві компоненти: горизонтальну і вертикальну.

Горизонтальна компонента швидкості снаряду не зміниться після удару, оскільки удар відбувається всередині системи "платформа + снаряд". Тому горизонтальна компонента швидкості залишається 400 м/сек.

Вертикальна компонента швидкості після удару може бути знайдена за допомогою закону збереження механічної енергії. Початкова потенціальна енергія снаряду перетворюється на кінетичну енергію снаряду і платформи після удару.

Початкова потенціальна енергія снаряду:

m * g * h, де g - прискорення вільного падіння, а h - висота, з якої снаряд падає (якщо вона відома)

Кінетична енергія після удару:

(маса платформи з піском + маса снаряду) * (v^2) / 2, де v - швидкість снаряду після удару (щойно знайдена)

Оскільки потенціальна енергія перетворюється на кінетичну, ми можемо записати:

m * g * h = (1000 + 15) * (v^2) / 2

Ми маємо рівняння, в якому намагаємося знайти швидкість снаряду після удару v. Розв'яжемо це рівняння, враховуючи відомі значення g і h.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі використовуємо закон збереження імпульсу. Згідно з цим законом, сума імпульсів до події дорівнює сумі імпульсів після події.

Спершу знайдемо імпульс снаряду перед влучанням в пісок. Імпульс обчислюється за формулою:

$\vec{p}_{\text{снаряду}} = m \cdot \vec{v}$

де:

• $\vec{p}_{\text{снаряду}}$ - імпульс снаряду перед влучанням,
• $m$ - маса снаряду,
• $\vec{v}$ - швидкість снаряду перед влучанням.

У нашому випадку $m = 15 \, \text{кг}$ і $\vec{v}$ має два компоненти: одна по горизонталі, а інша по вертикалі.

Швидкість снаряду по горизонталі $v_x$ можна знайти, використовуючи тригонометричні функції, оскільки ми знаємо кут $\alpha$ і швидкість снаряду $v$. Згідно з відомими відношеннями:

$v_x = v \cdot \cos(\alpha)$

$v_x = 400 \, \text{м/с} \cdot \cos(45^\circ) = 400 \, \text{м/с} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 200 \, \text{м/с}$

Імпульс снаряду по горизонталі $p_x$ тоді дорівнює:

$p_x = m \cdot v_x = 15 \, \text{кг} \cdot 200 \, \text{м/с} = 3000 \, \text{кг м/с}$

Тепер розглянемо імпульс системи платформи та снаряду після влучання. Імпульс платформи $p_{\text{платформи}}$ рівний нулю, оскільки вона почала рухатися зі спокійного стану і не має імпульсу.

Імпульс системи після влучання $p_{\text{системи}}$ розкладається на два компоненти: по горизонталі і по вертикалі. Імпульс снаряду після влучання $p_{\text{снаряду}}$ можна записати так:

$p_{\text{снаряду}} = m \cdot \vec{v}_{\text{снаряду}}$

де $\vec{v}_{\text{снаряду}}$ - швидкість снаряду після влучання. Оскільки снаряд застряв в піску, то і платформа разом з ним рухається з однією і тією ж швидкістю.

Тепер ми можемо записати рівняння збереження імпульсу для системи:

$p_{\text{системи}} = p_{\text{платформи}} + p_{\text{снаряду}}$

Оскільки $p_{\text{платформи}} = 0$, то ми отримуємо:

$p_{\text{системи}} = p_{\text{снаряду}}$

Тепер ми можемо записати компоненти імпульсу системи по горизонталі і по вертикалі:

p_{\text{системи}_x} = p_{\text{снаряду}_x p_{\text{системи}_y} = p_{\text{снаряду}_y

Для імпульсу системи по горизонталі маємо:

$p_{\text{системи}_x} = m \cdot v_{\text{снаряду}_x}$

$p_{\text{системи}_x} = 15 \, \text{кг} \cdot v_{\text{снаряду}_x}$

Знаючи, що імпульс снаряду по горизонталі перед влучанням дорівнює 3000 кг м/с, ми можемо записати:

$3000 \, \text{кг м/с} = 15 \, \text{кг} \cdot v_{\text{снаряду}_x}$

Вирішуємо це рівняння відносно $v_{\text{снаряду}_x}$:

$v_{\text{снаряду}_x} = \frac{3000 \, \text{кг м/с}}{15 \, \text{кг}} = 200 \, \text{м/с}$

Отже, швидкість платформи після влучання снаряду по горизонталі дорівнює 200 м/с.

Тепер розглянемо імпульс системи по вертикалі:

p_{\text{системи}_y} = p_{\text{снаряду}_y

Відомо, що імпульс снаряду по вертикалі перед влучанням рівний нулю, оскільки снаряд рухається по горизонталі. Тому ми маємо:

$p_{\text{снаряду}_y} = 0$

Імпульс системи по вертикалі після влучання $p_{\text{системи}_y}$