Question

Два маленьких шарика связаны невесомой пружиной. Если шарики зарядить одинаковым зарядом q1, то длина пружины равна l1, а если зарядом q2, то длина пружины равна l2. Какова собственная длина пружины?

Answer 1

$\dfrac{kq_{1}^2}{l_{1}^2} = \alpha (l_{1}-l),\; \dfrac{kq_{2}^2}{l_{2}^2} = \alpha(l_{2}-l) \Rightarrow \dfrac{q_{1}^2l_{2}^2}{q_{2}^2l_{1}^2} = \dfrac{l_{1}-l}{l_2-l} = 1 - \dfrac{l_{2}-l_{1}}{l_{2}-l}$$\dfrac{q_{2}^2l_{1}^2-q_{1}^2l_{2}^2}{q_{2}^2l_{1}^2} = \dfrac{l_{2}-l_{1}}{l_{2}-l} \Rightarrow l = l_{2} - \dfrac{q_{2}^2l_{1}^2(l_{2}-l_{1})}{(q_{2}l_{1}-q_{1}l_{2})(q_{2}l_{1}+q_{1}l_{2})}$, откуда

Answer 2

Собственная длина пружины в данном случае может быть найдена с использованием закона Кулона для силы электростатического взаимодействия между зарядами и закона Гука для силы упругости пружины.

Когда шарики имеют заряды q1 и пружина растянута до длины l1, сила электростатического отталкивания между шариками равна силе упругости пружины. То есть:

F1 = k * q1^2 / l1^2,

где F1 - сила электростатического отталкивания, k - постоянная пропорциональности, зависящая от свойств среды и геометрии системы.

Аналогично, когда шарики имеют заряды q2 и пружина растянута до длины l2, сила электростатического отталкивания равна силе упругости пружины:

F2 = k * q2^2 / l2^2.

Поскольку пружина невесома, то её масса можно считать пренебрежимо малой, и не учитывать её в расчётах.

Собственная длина пружины (l0) - это длина пружины в отсутствие зарядов, когда она не растянута и не сжата. При этом сила упругости пружины равна нулю.

Таким образом, когда l = l0, сила упругости пружины равна силе электростатического отталкивания:

k * q1^2 / l0^2 = k * q2^2 / l0^2.

Сокращая общий множитель k и переставляя члены, получим:

q1^2 / l0^2 = q2^2 / l0^2.

Отсюда можно сделать вывод, что q1^2 = q2^2, а значит, q1 = ± q2.

Таким образом, собственная длина пружины будет такая, что если шарики заряжены одинаковыми зарядами по модулю, то пружина не растягивается и не сжимается. Однако, если шарики имеют заряды разных знаков (q1 = -q2), то пружина будет растягиваться или сжиматься, и её длина будет зависеть от значений q1 и q2.