Question

Дано точки А (1;1;3), В (4;0;а), С (0;-1;4) і D (b;1;-2). Знайдіть СУМУ значень параметрів a i b, при яких вектори AB і CD будуть колінеарними.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

A(1; 1; 3), B(4; 0; a), C(0; -1; 4), D(b; 1; -2)

Координаты вектора AB(4-1; 0-1; a-3) ⇒ вектор AB(3; -1; a-3).

Координаты вектора CD(b-0; 1+1; -2-4) ⇒ вектор CD(b; 2; -6).

Векторы коллинеарны, когда их координаты пропорциональны.

Для этого находим отношения сторон:

3/b=-1/2=(a-3)/6

3/b=-1/2; 3·(-2)=1·b; b=-6

-1/2=(a-3)/6; 6·(-1)=(a-3)·2; -6=2a-6; a=(-6+6)/2; a=0

или

b/3=-2/1=6/(a-3)

b/3=-2/1; b·1=-2·3; b=-6

-2/1=6/(a-3); -2(a-3)=6·1; a=-6/2 +3; a=0

Вектор AB и вектор CD коллинеарны.

Ответ: a=0; b=-6.

Answer 2

Для того чтобы векторы AB и CD были коллинеарными, их направления должны быть параллельными или противоположными.

Вектор AB определяется разностью координат точек A и B: AB = B - A. Аналогично, вектор CD определяется разностью координат точек C и D: CD = D - C.

Заменим координаты точек A, B, C и D в формулах для векторов AB и CD:

AB = (4; 0; а) - (1; 1; 3) = (3; -1; а-3) CD = (b; 1; -2) - (0; -1; 4) = (b; 2; -6)

Теперь нам нужно найти значения параметров a, i и b, при которых векторы AB и CD будут коллинеарными. Для этого необходимо, чтобы соответствующие координаты векторов были пропорциональными:

3/1 = (а-3)/1, -1/2 = (а-3)/1, 3/1 = (а-3)/(-6)

Решив эти уравнения, мы найдем значения параметров a, i и b:

3/1 = (а-3)/1 ===> 3 = а - 3 ===> а = 6

-1/2 = (а-3)/1 ===> -1 = а - 3 ===> а = 2

3/1 = (а-3)/(-6) ===> 18 = а - 3 ===> а = 21

Таким образом, векторы AB и CD будут коллинеарными при значениях параметров a = 6, i = 2 и b = 21.