Question

Дано вектори a= 2i-3j+k, b=j+4k,c=5i+2j-3k Необхідно: а) обчислити мішаний добуток трьох векторів a, 3b, c; б) знайти модуль векторного добутку векторів 3a, 2c; в) обчислити скалярний добуток двох векторів b, -4c; г) перевірити, чи будуть колінеарними або ортогональними два вектори a, c; д) перевірити, чи будуть компланарними три вектори a,2b,3c

Answer 1

Ответ:

а) Мішаний добуток векторів a, 3b і c обчислюється за формулою:

a · (3b × c)

Де "×" позначає векторний добуток, а "·" - скалярний добуток. Спершу знайдемо векторний добуток 3b і c:

3b × c = 3(j + 4k) × (5i + 2j - 3k)

Тепер обчислімо цей векторний добуток і знайдемо мішаний добуток з вектором a.

б) Модуль векторного добутку векторів 3a і 2c обчислюється за формулою:

|3a × 2c| = |6(a × c)|

Де "×" позначає векторний добуток, а "||" - модуль (довжина) вектору.

в) Скалярний добуток векторів b і -4c обчислюється за формулою:

b · (-4c)

г) Два вектори a і c будуть колінеарними, якщо їх скалярний добуток дорівнює добутку їхніх довжин і косинуса кута між ними:

a · c = |a| * |c| * cos(θ)

Де "·" - скалярний добуток, |a| і |c| - модулі векторів, і θ - кут між ними. Якщо a · c = |a| * |c|, то вони колінеарні. Якщо a · c = 0, то вони ортогональні.

д) Три вектори a, 2b і 3c будуть компланарними, якщо їхня сума не є нульовим вектором і векторний добуток будь-яких двох з них дорівнює нулевому вектору. Тобто:

a + 2b + 3c ≠ 0 і (a + 2b) × (2b + 3c) = 0

Answer 2

Давайте розглянемо кожне завдання по черзі:

а) Мішаний добуток трьох векторів:

Мішаний добуток векторів a, b і c визначається так:

a · (b × c), де × позначає векторний добуток, а · позначає скалярний добуток.

1. Спершу знайдемо векторний добуток b × c:

b × c = (j + 4k) × (5i + 2j - 3k)

Використаємо правило векторного добутку: i-компонента: (4 * -3) - (2 * 1) = -12 - 2 = -14i j-компонента: (3 * 5) - (1 * -3) = 15 + 3 = 18j k-компонента: (1 * 2) - (4 * 5) = 2 - 20 = -18k

Отже, b × c = -14i + 18j - 18k.

2. Тепер обчислимо скалярний добуток a і (b × c):

a · (b × c) = (2i - 3j + k) · (-14i + 18j - 18k)

Використаємо правило скалярного добутку: a · (b × c) = 2 * (-14) + (-3) * 18 + 1 * (-18) = -28 - 54 - 18 = -100.

б) Модуль векторного добутку векторів 3a і 2c:

Модуль векторного добутку визначається як:

|3a × 2c| = |3| * |a| * |2| * |c| * sin(θ),

де θ - кут між векторами 3a і 2c.

|a| - модуль вектора a |c| - модуль вектора c

|3a| = 3|a| |2c| = 2|c|

Таким чином:

|3a × 2c| = 3 * 2 * |a| * |c| * sin(θ) = 6 * |a| * |c| * sin(θ).

б) Скалярний добуток векторів b і -4c:

Скалярний добуток двох векторів a і b обчислюється як:

b · (-4c) = (j + 4k) · (-4 * (5i + 2j - 3k))

Використаємо правило скалярного добутку: b · (-4c) = -4 * (4 * 5) + 4 * (2 * 1) - 4 * (-3 * 4)

б · (-4c) = -80 + 8 + 48 = -24.

г) Перевірка колінеарності або ортогональності векторів a і c:

Два вектори a і c колінеарні, якщо їх векторний добуток дорівнює нулю, і ортогональні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

a · c = (2i - 3j + k) · (5i + 2j - 3k)

a · c = 2 * 5 - 3 * 2 + 1 * (-3) = 10 - 6 - 3 = 1.

Скалярний добуток не дорівнює нулю, тому вектори a і c не є ортогональними або колінеарними.

д) Перевірка компланарності векторів a, 2b і 3c:

Три вектори a, 2b і 3c компланарні, якщо їх векторний добуток дорівнює нулю.

a × (2b) × (3c) = (2i - 3j + k) × (2(j + 4k)) × (3(5i + 2j - 3k))

Давайте розглянемо векторний добуток a і (2b):

a × (2b) = (2i - 3j + k) × (2(j + 4k))

Використаємо правило векторного добутку: i-компонента: (0 - 4) - (2 * 1) = -4 - 2 = -6i j-компонента: (2 * 2) - (k * 0) = 4 - 0 = 4j k-компонента: (2 * 4) - (0 - 3j) = 8 + 3j = 8 + 3j

Отже, a × (2b) = -6i + 4j + (8 + 3j)k = -6i + 7j + 8k.

Тепер обчислимо векторний добуток отриманого результату та 3c:

(-6i + 7j + 8k) × (3(5i + 2j - 3k)) = (-6i + 7j + 8k) × (15i + 6j - 9k)

Використаємо правило векторного добутку: i-компонента: (0 - 8) - (7 * (-9)) = -8 + 63 = 55i j-компонента: (8 * (-9)) - (0 - 6) = -72 + 6 = -66j k-компонента: (