Question

Знайти довжину дуги кривої: y=ln(cos(x)) : від x = 0 до x = 3,14/6

Answer 1

Ответ: ln(√3).

Пошаговое объяснение:

L=F(π/6)-F(0), где F(x)=∫√{1+[y'(x)]²}*dx. y'(x)=1/cos(x)*-sin(x)=-tg(x)⇒[y'(x)]²=tg²(x)⇒1+[y'(x)]²=1+tg²(x)=1/cos²(x)⇒√{1+[y'(x)]²}=1/cos(x)⇒F(x)=∫dx/cos(x)=ln/tg(x/2+π/4)/+C. Тогда L=ln[tg(π/3)]-ln[tg(π/4)]=ln(√3)-ln(1)=ln(√3).

Answer 2

Щоб знайти довжину дуги кривої, необхідно використовувати формулу для довжини дуги кривої на площині. Для цього ми використовуємо інтеграл:

Довжина дуги кривої = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx

У вашому випадку, вам потрібно знайти довжину дуги кривої для функції y = ln(cos(x)) від x = 0 до x = 3.14/6.

Давайте розберемось крок за кроком:

Крок 1: Знайдіть похідну функції y = ln(cos(x)). Це допоможе нам знайти dy/dx.

Для цього застосуємо правило ланцюжків:

dy/dx = 1/cos(x) * (-sin(x)) = -sin(x)/cos(x)

Крок 2: Підставте dy/dx у формулу довжини дуги кривої:

Довжина дуги кривої = ∫√(1 + (-sin(x)/cos(x))²) dx

Крок 3: Обчисліть цей інтеграл від x = 0 до x = 3.14/6:

Довжина дуги кривої = ∫[0, 3.14/6]√(1 + (-sin(x)/cos(x))