Question

Найти точки экстремума функции f(x) = 3x − x^3

Answer 1

Ответ:

х=1 - точка максимума, х=-1 - точка минимума

Пошаговое объяснение:

Сначала ищем производную.

f'(x)=3-3x²

Приравниваем её к нулю.

3-3x²=0;

3x²=3;

x²=1;

x=1; x=-1.

Подставляем эти значения в функцию:

f(1)=3-1=2 - точка максимума

f(-1)=-3+1=-2 - точка минимума

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = 3x - x^3, мы должны сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, могут быть точками экстремума.

Нахождение производной функции f(x)

Для нашей функции f(x) = 3x - x^3, найдем ее производную, используя правила дифференцирования. Производная функции f(x) обозначается как f'(x) или dy/dx.

Производная функции f(x) = 3x - x^3 будет равна:

f'(x) = d/dx (3x - x^3)

Для нахождения производной функции, мы применяем правило дифференцирования для каждого слагаемого.

f'(x) = d/dx (3x) - d/dx (x^3)

Функция 3x является линейной функцией, а производная линейной функции равна коэффициенту перед x. Поэтому производная 3x равна 3.

f'(x) = 3 - d/dx (x^3)

Для нахождения производной функции x^3, мы используем правило степенной функции, которое гласит, что производная x^n равна n * x^(n-1). В нашем случае, n = 3.

f'(x) = 3 - d/dx (x^3) = 3 - 3x^2

Нахождение точек экстремума

Теперь приравняем производную f'(x) к нулю и решим полученное уравнение для x.

3 - 3x^2 = 0

3x^2 = 3

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, мы получили две точки экстремума: x = -1 и x = 1.

Определение типа экстремума

Для определения типа экстремума (минимум или максимум) в каждой из найденных точек, мы можем использовать вторую производную тест.

Для этого найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = d^2/dx^2 (3 - 3x^2)

Для нахождения второй производной функции, мы применяем правило дифференцирования для каждого слагаемого.

f''(x) = d^2/dx^2 (3) - d^2/dx^2 (3x^2)

Так как константа 3 не содержит переменных, ее вторая производная равна нулю.

f''(x) = 0 - d^2/dx^2 (3x^2)

Для нахождения второй производной функции x^2, мы снова используем правило степенной функции.

f''(x) = 0 - d^2/dx^2 (3x^2) = 0 - 6x

Теперь подставим найденные точки экстремума x = -1 и x = 1 во вторую производную f''(x) и определим тип экстремума.

f''(-1) = 0 - 6(-1) = 6 > 0

f''(1) = 0 - 6(1) = -6 < 0

По результатам, точка x = -1 является точкой минимума, а точка x = 1 является точкой максимума.

График функции

Теперь, чтобы лучше визуализировать эти точки экстремума, можно построить график функции f(x) = 3x - x^3.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = 3*x - x**3

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = 3x - x^3')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике вы увидите, что функция имеет точку минимума в x = -1 и точку максимума в x = 1.