Question

(x) =(x^2+1)/(x-1) 1. Найти область определения функции; 2. Найти точки пересечения графика функции с осями коор¬динат; 3. Найти асимптоты; 4. Найти точки возможного экстремума; 5. Найти критические точки; 6. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремума и точки перегиба; 7. Построить график, учитывая исследование.

Answer 1

Ответ:

===================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте выполним исследование данной функции шаг за шагом:

1. Область определения функции (Domain): Функция определена для всех значений x, кроме тех, для которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль не определено: x - 1 ≠ 0 x ≠ 1 Таким образом, область определения функции - все вещественные числа, кроме x = 1.

2. Точки пересечения с осями координат: Для нахождения точек пересечения с осями координат, мы решаем уравнения f(x) = 0, f(0) = 0 и f(1):

   f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)

   a. С осью x: (x^2 + 1) / (x - 1) = 0 x^2 + 1 = 0 x^2 = -1 Решения отсутствуют, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

   b. С осью y (x = 0): f(0) = (0^2 + 1) / (0 - 1) = 1 / (-1) = -1

   c. Точка пересечения с вертикальной осью (x = 1): f(1) = (1^2 + 1) / (1 - 1) = (1 + 1) / 0 Знаменатель равен нулю, поэтому точка (1, f(1)) не определена на графике.

3. Асимптоты: a. Горизонтальная асимптота: Найдем горизонтальную асимптоту, вычислив предел функции при x стремящемся к бесконечности: lim (x -> ∞) ((x^2 + 1) / (x - 1)) Используя правило Лопиталя, получаем: lim (x -> ∞) (2x / 1) = ∞ Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота на бесконечности.

   b. Вертикальная асимптота: Вертикальная асимптота находится в точке, где знаменатель обращается в ноль: x - 1 = 0 x = 1 Таким образом, вертикальная асимптота находится в x = 1.

4. Точки возможного экстремума: Для нахождения точек экстремума, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю: f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)

   f'(x) = (2x(x - 1) - (x^2 + 1)) / (x - 1)^2

   f'(x) = (2x^2 - 2x - x^2 - 1) / (x - 1)^2 f'(x) = (x^2 - 2x - 1) / (x - 1)^2

   Теперь найдем точки, где f'(x) = 0: x^2 - 2x - 1 = 0

   Решая это квадратное уравнение, получим два значения x.

5. Критические точки: Найденные значения x из предыдущего шага будут критическими точками.

6. Исследование производных и построение вспомогательного рисунка: Для анализа знаков первой и второй производных, а также для определения участков возрастания и убывания, выпуклости и точек экстремума, мы можем построить таблицу знаков исследуемых выражений:

   • f'(x) = (x^2 - 2x - 1) / (x - 1)^2
   • f''(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x) / (x - 1)^3

   Построим таблицу знаков:

   x	f'(x)	f''(x)
   <1	-	+
   1-√2	-	-
   >√2	+	+

   • Первая производная f'(x) отрицательна до x=1 и положительна после.
   • Вторая производная f''(x) положительна для всех значений x, кроме x=1, где она обращается в ноль.

   Теперь можно сделать выводы:

   • Функция убывает на интервале (-∞, 1) и возрастает на интервале (1, ∞).
   • График функции выпуклый вверх на всей области определения.
   • Критические точки находятся в x=1-√2 и x=1+√2, но так как вторая производная положительна, то это точки минимума.

7. Построение графика: Исходя из результатов исследования, мы можем построить график функции, учитывая вертикальную асимптоту в x=1, горизонтальную асимптоту на бесконечности и точку пересечения с осью y в (0, -1). Также, учтем точки минимума в x=1-√2 и x=1+√2.

   График будет убывать до x=1-√2, затем возрастать, имея точку минимума в x=1-√2, и продолжать возрастать. График будет стремиться к бесконечности в положительном и отрицательном направлениях.

   Пожалуйста, обратите внимание, что без точных числовых значений для x=1-√2 и x=1+√2, график будет приближенным.