Question

Помогите, пожалуйста, исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить график.у=(5-х^2)/(x^2+5)Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) Найти область определения функции; 2) Исследовать функцию на непрерывность; 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) Найти интервал возрастания и убывания функции и точки экстремума; 5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) Найти асимптоты графика функции.

Answer 1

$y=\frac{5-x^2}{5+x^2}=\frac{10}{x^2+5}-1$

1. Область определения $D(y)=(-\infty;\infty);$

Область значений E(y)=(-1;1]

2) Так как x^2+5>0 для любого действительного х (знаменатель не равен 0 для любого х), то согласно арифмитическим действиям над непрерывными функциями и непрерывности многочленов данная функция непрерывная

3) Так как область определения симметричная относительно т. х=0, и

$y(-x)=\frac{10}{(-x)^2+5}-1=\frac{10}{x^2+5}-1=y(x)$

то функция четная

Так как данная функция дробно-рациональная, то она непериодична

4) $y'(x)=-\frac{10}{(x^2+5)^2}*(2x)-0=-\frac{20x}{(x^2+5)^2}$

y'>0 при x<0

y'<0 при x>0

x=0 - точка локального максимума 

при х є $(-\infty;0)$ функция возростает

при х є $(0;\infty)$ функция убывает

5) $y''(x)=-20*(\frac{1*(x^2+5)^2-x*2(x^2+5)2x}{(x^2+5)^4})=\\ -20\frac{(x^2+5)(x^2+5-4x^2)}{(x^2+5)^2}=20\frac{(x^2+5)(3x^2-5)}{(x^2+5)^4}=20\frac{3x^2-5}{(x^2+5)^3};$

$x=^+_-\sqrt {\frac{5}{3}}$- точки перегиба

$(-\infty; -\sqrt \frac {5}{3}) \cup (\sqrt \frac{5}{3}; \infty)$

функция вогнута

на интервале $(-\sqrt \frac {5}{3};\sqrt \frac{5}{3})$

функция выпукла

6) так как x^2+5>0 , то вертикальных асимптот нет

$k=lim{x->\infty} \frac{y(x)}{x}=lim_{x->\infty}\frac{5-x^2}{5x+x^3}=0$

$b=lim_{x->\infty}\frac{10}{5+x^2}-1=-1$

значит есть только горизонтальная асимптота y=-1

Answer 2

Исследование функции

Данная функция имеет вид: у = (5 - х^2) / (х^2 + 5).

1) Найдем область определения функции:

Область определения функции - это множество значений аргумента, при которых функция определена. В данном случае, знаменатель функции равен х^2 + 5, и он не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Значит, область определения функции - все действительные числа, кроме значения х, при котором х^2 + 5 = 0.

2) Исследуем функцию на непрерывность:

Функция будет непрерывной на всей своей области определения, за исключением точек, где знаменатель равен нулю (так как деление на ноль не определено). В данном случае, знаменатель функции равен х^2 + 5, и он не может быть равен нулю. Значит, функция будет непрерывной на всей своей области определения.

3) Определим, является ли данная функция четной или нечетной:

Четная функция - это функция, для которой выполняется условие f(-x) = f(x) для любого значения x из области определения функции. Нечетная функция - это функция, для которой выполняется условие f(-x) = -f(x) для любого значения x из области определения функции.

Для данной функции, у = (5 - х^2) / (х^2 + 5), проверим условие f(-x) = f(x):

f(-x) = (5 - (-x)^2) / ((-x)^2 + 5) = (5 - x^2) / (x^2 + 5) = f(x).

Условие f(-x) = f(x) выполняется, значит, данная функция является четной.

4) Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума:

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экстремума, необходимо найти производную функции и решить уравнение f'(x) = 0.

Для данной функции, у = (5 - х^2) / (х^2 + 5), найдем производную:

f'(x) = [(5 - х^2)'(х^2 + 5) - (5 - х^2)(х^2 + 5)'] / (х^2 + 5)^2 = [(-2х)(х^2 + 5) - (5 - х^2)(2х)] / (х^2 + 5)^2 = (-2х^3 - 10х - 10х + 2х^3) / (х^2 + 5)^2 = (-20х) / (х^2 + 5)^2.

Теперь решим уравнение f'(x) = 0:

(-20х) / (х^2 + 5)^2 = 0.

Уравнение имеет единственное решение x = 0.

Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экстремума, используя знаки производной:

- При x < 0, производная f'(x) < 0, значит, функция убывает на этом интервале. - При x > 0, производная f'(x) > 0, значит, функция возрастает на этом интервале. - В точке x = 0, производная f'(x) = 0, значит, функция имеет экстремум в этой точке.

Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 0), возрастает на интервале (0, +∞), и имеет точку экстремума в точке x = 0.

5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба:

Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба, необходимо найти вторую производную функции и решить уравнение f''(x) = 0.

Для данной функции, у = (5 - х^2) / (х^2 + 5), найдем вторую производную:

f''(x) = [(-20х)'(х^2 + 5)^2 - (-20х)(х^2 + 5)^2'] / (х^2 + 5)^4 = (-20(х^2 + 5) - (-20х)(2х)(х^2 + 5)') / (х^2 + 5)^4 = (-20х^2 - 100 - (-40х^3 - 200х)) / (х^2 + 5)^4 = (40х^3 + 20х^2 + 200х + 100) / (х^2 + 5)^4.

Теперь решим уравнение f''(x) = 0:

(40х^3 + 20х^2 + 200х + 100) / (х^2 + 5)^4 = 0.

Уравнение не имеет рациональных корней, поэтому точки перегиба можно найти только численными методами или графически.

Чтобы определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, а также точки перегиба, можно проанализировать знаки второй производной на разных интервалах.

6) Найдем асимптоты графика функции:

Для нахождения асимптот графика функции, необходимо рассмотреть пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности и при стремлении аргумента к нулю.

- Предел функции при x -> +∞: lim(x->+∞) (5 - х^2) / (х^2 + 5) = -1. - Предел функции при x -> -∞: lim(x->-∞) (5 - х^2) / (х^2 + 5) = -1. - Предел функции при x -> 0: lim(x->0) (5 - х^2) / (х^2 + 5) = 1/5.

Таким образом, график функции имеет горизонтальную асимптоту y = -1 при x -> ±∞ и вертикальную асимптоту x = 0.

Построение графика функции

Для построения графика функции у = (5 - х^2) / (х^2 + 5), можно использовать программы для построения графиков, такие как Python с библиотекой Matplotlib или онлайн-сервисы для построения графиков.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = (5 - x2) / (x2 + 5)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = (5 - x^2) / (x^2 + 5)')
plt.grid(True)
plt.show()

График функции будет выглядеть следующим образом:


Обратите внимание, что график может отличаться в зависимости от выбранного диап