Question

1)Найти обл. опр. функции2)Определить симметрию3)Найти точки пересечения графика функции с осями координат4)Найти точки разрыва функции5)Найти точки возможного экстремума функции6)Найти критические точки 7)Исследовать знаки 1ых и 2ых производной относительно появления точек8)Определить макс и мин значение функции на области ее определенияЕсли областью определения функции является отрезок AB, то необходимо вычислить значения функции в этих гран. точках10)Найти ассимптотыy=(4x^2+9)/4x+8

Answer 1

Для начала, давайте разберемся с каждым из ваших вопросов по порядку:

1) Найти область определения функции

Область определения функции определяется множеством значений, для которых функция определена. В данном случае, у нас есть функция

f(x) = (4x^2 + 9) / (4x + 8).

Чтобы определить область определения функции, мы должны исключить значения, при которых знаменатель функции равен нулю, так как деление на ноль неопределено. Знаменатель равен нулю в точке -2, так как 4 * (-2) + 8 = 0.

Таким образом, область определения функции f(x) - все значения x, кроме -2.

2) Определить симметрию

Для определения симметрии функции относительно осей координат, мы должны проверить, является ли функция четной (симметричной относительно оси Y) или нечетной (симметричной относительно начала координат).

Для этого, мы заменяем x на -x в исходной функции и сравниваем с исходной функцией.

Заменим x на -x в функции f(x):

f(-x) = (4(-x)^2 + 9) / (4(-x) + 8) = (4x^2 + 9) / (-4x + 8)

Сравнивая f(x) и f(-x), видим, что f(x) ≠ f(-x). Это означает, что функция не является ни четной, ни нечетной, и, следовательно, не имеет симметрии относительно осей координат.

3) Найти точки пересечения графика функции с осями координат

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, мы должны найти значения x, при которых y (функция f(x)) равна нулю.

Для оси X (y = 0), решим уравнение:

0 = (4x^2 + 9) / (4x + 8)

Решаем уравнение, получаем:

4x^2 + 9 = 0

Это квадратное уравнение, которое не имеет действительных корней. Следовательно, график функции не пересекает ось X.

Для оси Y (x = 0), подставим x = 0 в исходную функцию:

f(0) = (4(0)^2 + 9) / (4(0) + 8) = 9/8

Таким образом, точка пересечения графика функции с осью Y равна (0, 9/8).

4) Найти точки разрыва функции

Изначально, у нас нет явных указаний на точки разрыва функции. Однако, возможно, функция может иметь разрывы в случае, если знаменатель функции равен нулю или функция не определена в определенных точках.

В данном случае, знаменатель функции равен нулю при x = -2. Это означает, что у нас есть вертикальная асимптота в x = -2, и в этой точке функция имеет разрыв.

5) Найти точки возможного экстремума функции

Чтобы найти точки возможного экстремума функции, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Для функции f(x) = (4x^2 + 9) / (4x + 8), найдем производную функции:

f'(x) = (8x(4x + 8) - (4x^2 + 9)(4)) / (4x + 8)^2

Установим f'(x) равным нулю и решим уравнение:

(8x(4x + 8) - (4x^2 + 9)(4)) / (4x + 8)^2 = 0

Решая это уравнение, мы получаем x = -1/2. Это потенциальная точка экстремума функции.

6) Найти критические точки

Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Мы уже вычислили, что x = -1/2 является потенциальной точкой экстремума функции.

7) Исследовать знаки 1-й и 2-й производной относительно появления точек

Для исследования знака первой и второй производной функции, мы можем использовать таблицу знаков.

Для первой производной (f'(x)):

- При x < -2, f'(x) < 0 (отрицательный знак). - При -2 < x < -1/2, f'(x) > 0 (положительный знак). - При x > -1/2, f'(x) < 0 (отрицательный знак).

Для второй производной (f''(x)):

- При x < -2, f''(x) > 0 (положительный знак). - При -2 < x < -1/2, f''(x) < 0 (отрицательный знак). - При x > -1/2, f''(x) > 0 (положительный знак).

8) Определить максимальное и минимальное значение функции на области ее определения

Чтобы определить максимальное и минимальное значения функции на области ее определения, мы можем использовать критические точки и концы интервала области определения.

Так как у нас нет концов интервала определения (область определения - все значения x, кроме -2), мы можем рассмотреть только критическую точку x = -1/2.

Для определения максимального и минимального значения функции на области определения, мы можем подставить критическую точку и концы интервала в функцию и выбрать наименьшее и наибольшее значение.

Вычислим f(-1/2):

f(-1/2) = (4(-1/2)^2 + 9) / (4(-1/2) + 8) = 13/8

Таким образом, минимальное значение функции на области определения равно 13/8 (при x = -1/2), а максимальное значение не ограничено.

9) Найти асимптоты

Для нахождения асимптот функции, мы должны рассмотреть поведение функции на бесконечности и в точках разрыва.

Горизонтальная асимптота:

Находим предел функции при x стремящемся к бесконечности:

lim(x→∞) (4x^2 + 9) / (4x + 8) = lim(x→∞) 4x^2 / 4x = lim(x→∞) x = ∞

Таким образом, у функции нет горизонтальной асимптоты.

Вертикальная асимптота:

Мы уже вы