Question

Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) Найти область определения функции; 2) Найти производную функции; 3) Найти точки экстремума; 4) Определить промежутки монотонности функции; 5) Найти точки перегиба функции; 6) Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции; 7) Найти значение функции в точках экстремума и перегиба; y=2x^3+9x^2+12x+7

Answer 1

Ответ:

======================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте исследуем заданную функцию y = 2x^3 + 9x^2 + 12x + 7 согласно указанной схеме:

1. Область определения функции: Функция является полиномом, и полиномы определены на всей числовой прямой. Таким образом, областью определения этой функции является вся числовая прямая, или (-∞, ∞).

2. Найдем производную функции: y' = d/dx (2x^3 + 9x^2 + 12x + 7)

Используем правила дифференцирования для каждого члена:

y' = 6x^2 + 18x + 12

3. Найдем точки экстремума, выставив производную равной нулю и решив уравнение:

6x^2 + 18x + 12 = 0

Делаем это уравнение более простым, деля на 6:

x^2 + 3x + 2 = 0

Теперь факторизуем его:

(x + 1)(x + 2) = 0

Таким образом, у нас есть две точки экстремума: x = -1 и x = -2.

4. Определение промежутков монотонности функции: Для определения промежутков монотонности мы можем взять значения между точками экстремума (-∞, -2), (-2, -1) и (-1, ∞) и проанализировать знак производной на каждом из них.

Подставляем x = -3 в производную: 6(-3)^2 + 18(-3) + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 (положительное значение)

Подставляем x = -1.5 в производную: 6(-1.5)^2 + 18(-1.5) + 12 = 13.5 - 27 - 12 = -25.5 (отрицательное значение)

Подставляем x = 0 в производную: 6(0)^2 + 18(0) + 12 = 12 (положительное значение)

По результатам анализа знаков производной, можем сделать следующие выводы:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -2).
• Функция убывает на интервале (-2, -1).
• Функция возрастает на интервале (-1, ∞).

5. Найдем точки перегиба функции. Точки перегиба функции могут быть найдены, выставив вторую производную равной нулю и решив соответствующее уравнение. Для нашей функции это не требуется, так как у нас есть полином третьей степени, и он не имеет точек перегиба.

6. Определение промежутков выпуклости и вогнутости функции: Из-за отсутствия точек перегиба, мы можем сказать, что функция либо всегда выпукла (convex), либо всегда вогнута (concave). Мы можем определить это, проанализировав знак второй производной.

Вторая производная: y'' = d^2/dx^2 (6x^2 + 18x + 12) = 12x + 18

Анализируем знак второй производной:

• Если x < -3/2 (например, x = -2), то y'' < 0, значит, функция вогнута.
• Если x > -3/2 (например, x = -1), то y'' > 0, значит, функция выпукла.

Таким образом, функция вогнута на интервале (-∞, -3/2) и выпукла на интервале (-3/2, ∞).

7. Найдем значение функции в точках экстремума и перегиба:

• В точке экстремума x = -1: y(-1) = 2(-1)^3 + 9(-1)^2 + 12(-1) + 7 = -2 + 9 - 12 + 7 = 2.
• В точке экстремума x = -2: y(-2) = 2(-2)^3 + 9(-2)^2 + 12(-2) + 7 = -16 + 36 - 24 + 7 = 3.

Теперь мы имеем все необходимые данные для построения эскиза графика функции. Мы знаем область определения, производную, точки экстремума, промежутки монотонности и выпуклости. Воспользуйтесь этой информацией для построения графика.