Question

Помогите, пожалуйста, исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить график. у=(х^2-5)/(x+2) Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) Найти область определения функции; 2) Исследовать функцию на непрерывность; 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) Найти интервал возрастания и убывания функции и точки экстремума; 5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) Найти асимптоты графика функции.

Answer 1

РЕШЕНИЕ
Функция  Y= (x²-5)/(x+2)
График в приложении
Синий - функция
Красный - производная
Производная Y' = (x²+4x+5) / (x²+4x+4)
Область определения - кроме х = -2   х⊂(-∞;-2)  (-2;+∞)
Область значений - все
Производная всегда положительная - функция всегда возрастает
В пределах +/- ∞

Answer 2

Давайте поочередно выполним каждый из пунктов исследования функции \(y = \frac{x^2 - 5}{x + 2}\):

1. Область определения: Область определения функции состоит из всех значений \(x\), при которых функция определена. В данном случае, знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому: \[x + 2 \neq 0\] Отсюда следует, что \(x \neq -2\). Таким образом, область определения функции - все вещественные числа, кроме -2.

2. Непрерывность: Функция непрерывна в точках, где она определена. Поскольку область определения - все вещественные числа, кроме -2, функция непрерывна на всей своей области определения.

3. Четность/нечетность: Для определения четности/нечетности функции подставим \(-x\) вместо \(x\) и сравним полученное с \(f(x)\). \[f(-x) = \frac{(-x)^2 - 5}{-x + 2} = \frac{x^2 - 5}{-x + 2} = -\frac{x^2 - 5}{x - 2}\] Мы видим, что \(f(-x) = -f(x)\), что говорит о том, что функция нечетная.

4. Интервалы возрастания и убывания, точки экстремума: Для нахождения интервалов возрастания и убывания возьмем производную функции и приравняем ее к нулю. \[y' = \frac{(x+2)(2x) - (x^2 - 5)}{(x+2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 5}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 5}{(x+2)^2}\] Приравняем \(y'\) к нулю и решим уравнение: \[x^2 + 4x + 5 = 0\] Данное квадратное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет точек экстремума. Так как \(y'\) меняет знак с положительного на отрицательный, функция убывает на всей своей области определения, кроме точек, где \(y'\) не определен (в данном случае -2).

5. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба: Для нахождения точек перегиба найдем вторую производную: \[y'' = \frac{2(x+2)^2 - 2(x^2 + 4x + 5)(2(x+2))}{(x+2)^4} = \frac{-2x^2 - 20x - 38}{(x+2)^3}\] Решим уравнение \(y'' = 0\): \[-2x^2 - 20x - 38 = 0\] Данное квадратное уравнение также не имеет действительных корней, следовательно, у функции нет точек перегиба. Изучение знаков \(y''\) позволяет утверждать, что график функции вогнут в областях, где \(y'' > 0\), и выпукл в областях, где \(y'' < 0\).

6. Асимптоты: Найдем вертикальные асимптоты, приравнивая знаменатель функции к нулю: \[x + 2 = 0 \implies x = -2\] Функция имеет вертикальную асимптоту при \(x = -2\). Теперь найдем горизонтальные асимптоты, анализируя пределы при \(x \to \pm\infty\): \[\lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2 - 5}{x + 2} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{x} = \infty\] \[\lim_{{x \to -\infty}} \frac{x^2 - 5}{x + 2} = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{x^2}{x} = -\infty\] Из этого следует, что функция не имеет горизонтальных асимптот при \(x \to \pm\infty\).

Теперь можно построить график функции, учитывая результаты исследования.