Question

3.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = −x2 + 4x — 3, y = 0​

Answer 1

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой y = −x^2 + 4x − 3 и осью OX, необходимо найти точки пересечения кривой с осью OX. Для этого решим уравнение -x^2 + 4x - 3 = 0:

x^2 - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения кривой с осью OX: x = 1 и x = 3.

Площадь фигуры, ограниченной кривой y = −x^2 + 4x − 3 и осью OX, равна интегралу от 0 до 3 функции y = −x^2 + 4x − 3:

S = ∫[0,3](-x^2 + 4x - 3)dx

S = [-x^3/3 + 2x^2 - 3x] [0,3]

S = [(27/3) - (18/3) - 9] - [(0/3) - (0/3) - 0]

S = 9 - 0

S = 9

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной кривой y = −x^2 + 4x − 3 и осью OX, равна 9.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нам нужно найти точки их пересечения. В данном случае, у нас есть две кривые: y = -x^2 + 4x - 3 и y = 0.

Нахождение точек пересечения кривых

Для найти точки пересечения кривых, мы должны приравнять y в обоих уравнениях и решить полученное квадратное уравнение. Подставим y = 0 в первое уравнение:

0 = -x^2 + 4x - 3

Теперь, решим это уравнение:

-x^2 + 4x - 3 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться квадратным корнем или формулой дискриминанта. В данном случае, мы воспользуемся формулой дискриминанта.

Решение уравнения с помощью формулы дискриминанта

Формула дискриминанта: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Для нашего уравнения, a = -1, b = 4 и c = -3. Подставим эти значения в формулу:

x = (-4 ± √(4^2 - 4(-1)(-3))) / (2(-1))

Выполним вычисления:

x = (-4 ± √(16 - 12)) / (-2)

x = (-4 ± √4) / (-2)

x = (-4 ± 2) / (-2)

Получаем два значения x:

x1 = (-4 + 2) / (-2) = -2 / -2 = 1 x2 = (-4 - 2) / (-2) = -6 / -2 = 3

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим найденные значения x в одно из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

y = -x^2 + 4x - 3

Для x1 = 1:

y1 = -(1)^2 + 4(1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0

Для x2 = 3:

y2 = -(3)^2 + 4(3) - 3 = -9 + 12 - 3 = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: (1, 0) и (3, 0).

Вычисление площади фигуры

Теперь, когда мы знаем точки пересечения кривых, мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми. Для этого мы можем использовать интеграл.

Поскольку у нас есть две кривые, площадь фигуры будет равна разности интегралов этих кривых от x1 до x2. В данном случае, x1 = 1 и x2 = 3.

Площадь фигуры можно вычислить следующим образом:

Площадь = ∫(верхняя кривая - нижняя кривая) dx

Подставим значения в интеграл:

Площадь = ∫((-x^2 + 4x - 3) - 0) dx (от x1 до x2)

Выполняем интегрирование:

Площадь = ∫(-x^2 + 4x - 3) dx (от 1 до 3)

Площадь = [-(1/3)x^3 + 2x^2 - 3x] (от 1 до 3)

Вычисляем значения в пределах интегрирования:

Площадь = (-(1/3)(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3)) - (-(1/3)(1)^3 + 2(1)^2 - 3(1))

Площадь = (-(1/3)(27) + 2(9) - 9) - (-(1/3)(1) + 2(1) - 3)

Площадь = (-9 + 18 - 9) - (-1/3 + 2 - 3)

Площадь = 0 - (-1/3 - 1)

Площадь = -1/3 + 1

Площадь = 2/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4x - 3 и y = 0, равна 2/3.