Question

Число 4 є коренем рівняння х2 + 7x + n = 0. Знайдіть другий корінь рівняння і значення n. Знайти площу прямокутного трикутника, якщо олин із його катетів на 14 см менше від другого , а гіпотенуза дорівнює 34 см​

Answer 1

Відповідь:

1) х₂=-11;  n= - 44

2)240 см²

Покрокове пояснення:

х²+7х+n=0
За теоремою Вієта

х₁+х₂=-7, отже  якщо х₁=4,
4+х₂=-7;
х₂=-7-4:
х₂=-11.
Також за теоремою Вієта

х₁*х₂=n;
n=4*(-11);

n= - 44
2)

Нехай менший катет трикутника х см, тоді більший катет( х+14) см

Площа прямокутного трикутника становить половину добутку його катетів: $S=\frac{x(x+14)}{2}$

За теоремою Піфагора
х²+(х+14)²=34²;
х²+(х²+28x+14²)=1156;

2x²+28x+196-1156=0;

2x²+28x-960=0; /:2
x²+14x-480=0;

D=14²-4*1*(-480)=196+1920=2116,√D=46

$x_{1}=\frac{-14-46}{2*1}= \frac{-60}{2}=-30$ -не беремо до уваги, бо довжина катету може бути тільки додатньою
$x_{2}=\frac{-14+46}{2*1}=\frac{32}{2}=16$ (cм)- довжина короткого катету
$S=\frac{x(x+14)}{2}=\frac{16*(16+14)}{2}=8*30=240$(см²)

Answer 2

Розв'язок рівняння:

Дано рівняння: x^2 + 7x + n = 0

Ми знаємо, що число 4 є одним з коренів цього рівняння. Щоб знайти другий корінь, ми можемо використовувати факт, що сума коренів рівняння дорівнює протилежному коефіцієнту при x, поділеному на коефіцієнт при x^2. В нашому випадку, це -7/1 = -7.

Отже, сума коренів рівняння дорівнює -7. Ми вже знаємо один корінь, який дорівнює 4. Тому другий корінь буде -7 - 4 = -11.

Тепер, щоб знайти значення n, ми можемо підставити один з коренів в рівняння і розв'язати його. Використаємо перший корінь x = 4:

(4)^2 + 7(4) + n = 0

16 + 28 + n = 0

44 + n = 0

n = -44

Отже, другий корінь рівняння дорівнює -11, а значення n дорівнює -44.

Знаходження площі прямокутного трикутника:

У нас є прямокутний трикутник з катетами, один з яких менший за другий на 14 см, а гіпотенуза дорівнює 34 см.

Позначимо менший катет як x, тоді більший катет буде x + 14.

Застосуємо теорему Піфагора, що стверджує, що сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи:

x^2 + (x + 14)^2 = 34^2

Розгорнемо це рівняння:

x^2 + x^2 + 28x + 196 = 1156

Об'єднаємо подібні члени:

2x^2 + 28x + 196 - 1156 = 0

2x^2 + 28x - 960 = 0

Поділимо обидві сторони на 2:

x^2 + 14x - 480 = 0

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння, використовуючи методи, такі як факторизація, повне квадратування або квадратне рівняння. Однак, у цьому випадку факторизація буде найбільш простим способом розв'язку.

Розкладаємо коефіцієнти:

(x + 30)(x - 16) = 0

Тепер ми маємо два можливі значення для x: x = -30 або x = 16.

Оскільки довжина не може бути від'ємною, відкидаємо x = -30.

Таким чином, ми отримуємо, що x = 16.

Тепер, коли ми знаємо значення катетів (x = 16 і x + 14 = 30), ми можемо знайти площу прямокутного трикутника, використовуючи формулу:

Площа = (1/2) * (катет1) * (катет2)

Підставимо відомі значення:

Площа = (1/2) * 16 * 30 = 240 кв. см

Отже, площа прямокутного трикутника дорівнює 240 квадратних сантиметрів.