Question

Даны векторы а = (5; 2; −1) и b = (3; −2; −4). Найти:а) площадь параллелограмма, построенного на векторах m = a − 2b иn= 2a + 3b;в)косинус угла между векторами m = a − 2b и n = 2a + 3b;

Answer 1

Ответ:

а) Площадь параллелограмма:

Рассчитаем векторы m и n:

m = a − 2b = (5; 2; −1) - 2(3; −2; −4) = (-8; 0; 3)

n = 2a + 3b = 2(5; 2; −1) + 3(3; −2; −4) = (10; -4; -13)

Найдем длины векторов:

|m| = √(-8)2 + (0)2 + 32 = √25 = 5

|n| = √(10)2 + (-4)2 + (-13)2 = √169 = 13

Площадь параллелограмма: S = |m||n|sin(α) = 513sin(α)

б) Косинус угла между векторами:

cos(α) = (m•n) / (|m||n|) = (-810 - 0-4 + 3*-13) / (5*13) = -19/65

Ответы:

а) S = 65

б) cos(α) = -19/65

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем векторы m и n: - Вектор m = a - 2b m = (5, 2, -1) - 2(3, -2, -4) m = (5, 2, -1) - (6, -4, -8) m = (-1, 6, 7)

- Вектор n = 2a + 3b n = 2(5, 2, -1) + 3(3, -2, -4) n = (10, 4, -2) + (9, -6, -12) n = (19, -2, -14)

2. Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах m и n. Площадь параллелограмма можно найти по формуле: Площадь = |m x n| где x обозначает векторное произведение.

Вычислим векторное произведение m x n: m x n = | i j k | | -1 6 7 | | 19 -2 -14 |

Вычислим определитель этой матрицы: m x n = (6 * -14 - (-2 * 7), -1 * -14 - (19 * 7), -1 * -2 - (19 * 6)) = (-72 - (-14), 14 - 133, 2 - 114) = (-58, -119, -112)

Теперь найдем модуль полученного вектора: |m x n| = sqrt((-58)^2 + (-119)^2 + (-112)^2) = sqrt(3364 + 14161 + 12544) = sqrt(30069) ≈ 173.36

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах m и n, составляет около 173.36.

3. Найдем косинус угла между векторами m и n. Косинус угла между векторами можно найти по формуле: cos θ = (m · n) / (|m| * |n|) где · обозначает скалярное произведение, |m| и |n| обозначают длины векторов m и n соответственно.

Вычислим скалярное произведение m · n: m · n = -1 * 19 + 6 * -2 + 7 * -14 = -19 - 12 - 98 = -129

Вычислим длины векторов m и n: |m| = sqrt((-1)^2 + 6^2 + 7^2) = sqrt(1 + 36 + 49) = sqrt(86) ≈ 9.27

|n| = sqrt(19^2 + (-2)^2 + (-14)^2) = sqrt(361 + 4 + 196) = sqrt(561) ≈ 23.68

Теперь найдем косинус угла: cos θ = (-129) / (9.27 * 23.68) ≈ -0.589

Таким образом, косинус угла между векторами m и n составляет примерно -0.589.