Question

Вариант 3. Даны векторы {-4, 2, 5}, {6, 0, -1}, {3, 2, 1}. Найти: Длины этих векторов; Скалярное произведение векторов и и косинус угла между ними; Векторное произведение × и площадь треугольника, построенного на этих векторах; Смешанное произведение и объем тетраэдра, построенного на этих векторах. Даны точки A(6; 1; 5), B(-1; 3; 0). Найти: Координаты и длину вектора Координаты точки C - середины отрезки AB

Answer 1

Відповідь:

-12

Покрокове пояснення:

3) 3*(-2) + (-2)*3= -12.

Вот так

Answer 2

Давайте начнем по порядку.

1. Длины векторов: Для вектора {a, b, c} длина вычисляется по формуле: √(a^2 + b^2 + c^2)

Для данного случая: Длина вектора {-4, 2, 5} = √((-4)^2 + 2^2 + 5^2) = √(16 + 4 + 25) = √45 ≈ 6.71 Длина вектора {6, 0, -1} = √(6^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(36 + 0 + 1) = √37 ≈ 6.08 Длина вектора {3, 2, 1} = √(3^2 + 2^2 + 1^2) = √(9 + 4 + 1) = √14 ≈ 3.74

2. Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними: Скалярное произведение векторов {a, b, c} и {x, y, z} вычисляется как: ax + by + c*z

Скалярное произведение между векторами {-4, 2, 5} и {6, 0, -1} = -46 + 20 + 5*(-1) = -24 - 5 = -29

Для вычисления косинуса угла между векторами, используем формулу: cos(θ) = (ax + by + c*z) / (||{a, b, c}|| * ||{x, y, z}||) где ||{a, b, c}|| - длина вектора {a, b, c}

Косинус угла между векторами = -29 / (6.71 * 6.08) ≈ -0.8004

3. Векторное произведение и площадь треугольника: Векторное произведение векторов {a, b, c} и {x, y, z} вычисляется как: {(bz - cy), (cx - az), (ay - bx)}

Векторное произведение между векторами {-4, 2, 5} и {6, 0, -1} = {(2*(-1) - 50), (56 - (-4)(-1)), (-40 - 2*6)} = {-2, 34, -12}

Площадь треугольника, построенного на этих векторах, равна половине длины вектора векторного произведения: 0.5 * ||{-2, 34, -12}|| = 0.5 * √((-2)^2 + 34^2 + (-12)^2) ≈ 35.73

4. Смешанное произведение и объем тетраэдра: Смешанное произведение векторов {a, b, c}, {x, y, z} и {p, q, r} вычисляется как: a*(yr - zq) + b*(zp - xr) + c*(xq - yp)

Подставляя значения векторов {-4, 2, 5}, {6, 0, -1} и {3, 2, 1}, получим: Смешанное произведение = -4 * (01 - (-1)2) + 2 * (-13 - 61) + 5 * (62 - 03) = -4 * 2 + 2 * (-9) + 5 * 12 = -8 - 18 + 60 = 34

Объем тетраэдра, построенного на этих векторах, равен абсолютной величине смешанного произведения, деленной на 6: |34| / 6 ≈ 5.67

5. Координаты точки C - середины отрезка AB: Для нахождения координат точки C - середины отрезка AB, используем средние значения координат точек A и B: x_c = (x_a + x_b) / 2 y_c = (y_a + y_b) / 2 z_c = (z_a + z_b) / 2

Для точек A(6, 1, 5) и B(-1, 3, 0): x_c = (6 - 1) / 2 = 2.5 y_c = (1 + 3) / 2 = 2 z_c = (5 + 0) / 2 = 2.5

Таким образом, координаты точки C: C(2.5, 2, 2.5).

Длина вектора AB вычисляется как длина вектора между точками A и B: Длина AB = √((x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2) Длина AB = √((-1 - 6)^2 + (3 - 1)^2 + (0 - 5)^2) Длина AB = √((-7)^2 + 2^2 + (-5)^2) = √74 ≈ 8.60

Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!