Question

1.Даны точки: А(-2;3;4) и В(4;-1;6). а) Найти координаты середины отрезка АВ. б) Найдите координаты и длину вектора AB´ . в) Разложите вектор AB ´ по координатным векторам. 2 Даны векторы a´=-i´+2k´ и b´ (2;6;-4). Найти координаты вектора a´ , если c´= 1/2 b´ −2a´ . 3.Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах a´ =3i´+5j ´+4k´ и b´ (1;2;3). 4.Даны векторы:а´ (1 ; 4 ;−3) и b´ ( m;−1 ;−2 ) .При каких m векторы перпендикулярны?

Answer 1

1.

А( -2 ; 3 ; 4 ) , В( 4 ; -1 ; 6 )

а)

Обозначим координаты середины отрезка AB  точкой F;

F = (-2 + 4)/2 = 1;  (3 - 1)/2 = 1; (4 + 6)/2 = 5 = (1; 1; 5) ;

F = (1; 1; 5).

б)

Найдём координаты AB = ( 4 - (-2) ; (-1 ) - 3 ; 6 - 4 ) = ( 6 ; -4 ; 2 ) ;

Найдём длину вектора AB = √6² + (-4)² + 2² = √36 + 16 + 4 = √56 = 2√14 ;

2.

a = -i + 2k , b(2;6;-4) , c = 1/2 b −2a

Найдём координаты вектора a  :

а ( 0; -1 ; 2 ) , b (2 ; 6; -4 )

c (( 1/2 ) · 2 - 2·  0; (1/2) · 6 - 2 · (-1); 1/2· (-4) - 2 ·2 ) = (1; 5; -6) 4)

2:4=m:(-2)=1:n

2:4=m:(-2)   ⇒ 2·(-2)=4m  ⇒  m=-1

2:4=1:n    ⇒2n=4  ⇒  n=2

a (2; -1; 1}, b (4; -2 ; 2 )

|a|=√(2²+(-1)²+1²)=√6

|b|=√4²+(-2)²+2²=√24=2√6

Answer 2

Давайте по очереди решим каждую из задач.

Задача 1:

а) Для нахождения координат середины отрезка AB, нужно взять среднее значение каждой координаты точек A и B.

Середина AB: M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2)

Где (x₁, y₁, z₁) - координаты точки A, (x₂, y₂, z₂) - координаты точки B.

Для данной задачи: A(-2, 3, 4) B(4, -1, 6)

M = ((-2 + 4) / 2, (3 + -1) / 2, (4 + 6) / 2) M = (1, 1, 5)

Ответ: а) Координаты середины отрезка AB равны (1, 1, 5).

б) Для нахождения координат и длины вектора AB', нужно вычислить разность координат точек B и A.

Вектор AB': B' - A = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)

AB': (4 - (-2), -1 - 3, 6 - 4) = (6, -4, 2)

Длина вектора AB': |AB'| = √(6² + (-4)² + 2²) = √(36 + 16 + 4) = √56 ≈ 7.48

Ответ: б) Координаты вектора AB' равны (6, -4, 2), длина вектора AB' ≈ 7.48.

в) Разложение вектора AB' по координатным векторам представляет собой выражение AB' в виде суммы произведений векторов на координаты (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).

AB' = x * (1, 0, 0) + y * (0, 1, 0) + z * (0, 0, 1)

Где x, y, z - координаты вектора AB'.

Для данной задачи: x = 6, y = -4, z = 2

AB' = 6 * (1, 0, 0) - 4 * (0, 1, 0) + 2 * (0, 0, 1) AB' = (6, 0, 0) + (0, -4, 0) + (0, 0, 2) AB' = (6, -4, 2)

Ответ: в) Разложение вектора AB' по координатным векторам: AB' = (6, -4, 2).

Задача 2:

Дано: a' = -i' + 2k' b' = (2, 6, -4)

c' = 1/2 * b' - 2 * a'

c' = (1/2 * 2, 1/2 * 6, 1/2 * -4) - 2 * (-1, 0, 2) c' = (1, 3, -2) - (-2, 0, 4) c' = (1, 3, -2) + (2, 0, 4) c' = (3, 3, 2)

Таким образом, координаты вектора a' равны (3, 3, 2).

Задача 3:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a' и b', равна длине векторного произведения этих векторов.

a' = (3, 5, 4) b' = (1, 2, 3)

Площадь параллелограмма = |a' × b'|

a' × b' = (5 * 3 - 4 * 2, 4 * 1 - 3 * 3, 3 * 2 - 5 * 1) a' × b' = (15 - 8, 4 - 9, 6 - 5) a' × b' = (7, -5, 1)

Площадь параллелограмма = √(7² + (-5)² + 1²) = √(49 + 25 + 1) = √75 ≈ 8.66

Ответ: Площадь параллелограмма ≈ 8.66.

Задача 4:

Для того чтобы векторы a' и b' были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю.

a' = (1, 4, -3) b' = (m, -1, -2)

a' · b' = 1 * m + 4 * (-1) + (-3) * (-2) = m - 4 + 6 = m + 2

Чтобы векторы были перпендикулярными, m должно быть равно -2.

Ответ: Векторы a' и b' перпендикулярны при m = -2.