Question

Треба розкласти в ряд Фур'є по синусах функцію f(x)=sin(x/2) на інтервалі (0; π)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

посмотрите предложенное решение; если есть возможность, перепроверьте в других источниках.

Answer 2

Функція f(x) = sin(x/2) може бути розкладена в ряд Фур'є по синусах на інтервалі (0, π). Для розкладу використовується формула ряду Фур'є для функцій, які задовольняють певним умовам, таким як періодичність та обмеженість на заданому інтервалі.

Розпочнемо знайдення коефіцієнтів ряду Фур'є. Знаючи, що f(x) = sin(x/2), можемо записати:

f(x) = a₀/2 + ∑[n=1, ∞] an*sin(nx)

де a₀ - середнє значення функції f(x) на інтервалі (0, π), an - коефіцієнти ряду Фур'є для синусів.

Середнє значення функції f(x) на інтервалі (0, π) можна знайти за формулою:

a₀ = (2/π) * ∫[0, π] f(x) dx

a₀ = (2/π) * ∫[0, π] sin(x/2) dx

Застосувавши правило інтегрування для синуса із зсувом, отримаємо:

a₀ = (2/π) * [ -2*cos(x/2) ] [0, π]

a₀ = (2/π) * ( -2*cos(π/2) + 2*cos(0/2) )

a₀ = (2/π) * ( -2*0 + 2*1 )

a₀ = 4/π

Тепер знайдемо коефіцієнти an. Для цього використаємо формулу:

an = (2/π) * ∫[0, π] f(x)*sin(nx) dx

an = (2/π) * ∫[0, π] sin(x/2)*sin(nx) dx

Застосувавши формулу добутку синусів, отримаємо:

an = (2/π) * (1/2) * [ cos((n-1)x/2) - cos((n+1)x/2) ] [0, π]

an = (1/π) * [ cos((n-1)π/2) - cos((n+1)π/2) - cos(0) + cos(nπ/2) ]

an = (1/π) * [ (-1)^(n+1) - (-1)^(n-1) - 1 + (-1)^n ]

an = (1/π) * [ (-1)^(n+1) + (-1)^(n+1) - 1 + (-1)^n ]

an = (1/π) * [ 2*(-1)^(n+1) + (-1)^n - 1 ]

Таким чином, знайшли коефіцієнти ряду Фур'є для функції f(x) = sin(x/2) на інтервалі (0, π). Розклад виглядає наступним чином:

f(x) = (4/π) * (sin(x/2) + (2/π) * (sin(x) - sin(3x)/3 + sin(5x)/5 - sin(7x)/7 + ...)

Можна продовжити ряд Фур'є далі, додаваючи члени вказаного шаблону з кожним наступним натуральним числом n. Цей розклад дозволяє апроксимувати функцію f(x) за допомогою скінченної суми членів ряду, з кількістю членів, які залежать від бажаної точності апроксимації.