Question

Розкласти задану функцію в ряд Фур;є f(x)=sin x на відрізку О:П за синусами

Answer 1

Поскольку функция  $f(x)=\sin x$ является нечетной, то коэффициенты:  $a_0=a_n=0$

$b_n= \displaystyle \frac{2}{ \pi } \int\limits^{\pi}_0 {\sin x\sin nx} \, dx = \frac{1}{ \pi } \int\limits^{\pi}_0\bigg(\cos(n-1)x-\cos(n+1)x\bigg)dx=\\ \\ = \frac{1}{ \pi } \bigg( \frac{1}{n-1}\cdot \sin(n-1)x- \frac{1}{n+1}\cdot \sin(n+1)x\bigg)\bigg|^{ \pi } _0=\\ \\ = \frac{1}{ \pi } \cdot \bigg( \frac{\sin \pi (n-1)}{n-1} - \frac{\sin \pi (n+1)}{n+1} \bigg)=0,~~ n\ne\pm1$


Разложение в ряд Фурье по синусам:


$f(x)=\sin x=\displaystyle \sum^{\infty}_{n=2}0\cdot\sin(nx)=0$

Answer 2

Щоб розкласти функцію f(x) = sin(x) в ряд Фур'є на відрізку [0, П], спочатку треба визначити, яким чином функція f(x) відрізняється від нуля на даному інтервалі. У даному випадку, функція sin(x) відрізняється від нуля на інтервалі [0, П], оскільки sin(0) = 0 і sin(П) = 0.

Ряд Фур'є для функції f(x) на відрізку [0, П] має вигляд:

f(x) = a₀/2 + Σ [aₙ * cos(n * x) + bₙ * sin(n * x)], де n = 1, 2, 3, ...

Коефіцієнти a₀, aₙ і bₙ обчислюються наступним чином:

a₀ = (1/П) * ∫[0, П] f(x) dx aₙ = (1/П) * ∫[0, П] f(x) * cos(n * x) dx, де n = 1, 2, 3, ... bₙ = (1/П) * ∫[0, П] f(x) * sin(n * x) dx, де n = 1, 2, 3, ...

Давайте обчислимо кожен із цих коефіцієнтів.

1. Обчислення коефіцієнта a₀: a₀ = (1/П) * ∫[0, П] sin(x) dx = (1/П) * [-cos(x)] [0, П] = (1/П) * (-cos(П) - (-cos(0))) = (1/П) * (1 - (-1)) = 2/П

2. Обчислення коефіцієнтів aₙ і bₙ: aₙ = (1/П) * ∫[0, П] sin(x) * cos(n * x) dx = 0, оскільки sin(x) * cos(n * x) є непарною функцією, а інтеграл від непарної функції на симетричному інтервалі від -П до П дорівнює нулю.

bₙ = (1/П) * ∫[0, П] sin(x) * sin(n * x) dx = (1/П) * ∫[0, П] sin²(x) dx bₙ = (1/П) * [x/2 - (1/4) * sin(2x)] [0, П] = (1/П) * [(П/2) - (1/4) * sin(2П) - (0/2) + (1/4) * sin(0)] bₙ = (1/П) * (П/2) = 1/2

Таким чином, ряд Фур'є для функції f(x) = sin(x) на відрізку [0, П] виглядає наступним чином:

f(x) = (2/П) + Σ [(1/2) * sin(n * x)], де n = 1, 2, 3, ...

Зауважте, що ряд Фур'є для функції sin(x) на відрізку [0, П] містить тільки синуси, оскільки коефіцієнти aₙ дорівнюють нулю через парність функції sin(x) на даному інтервалі.