Question

Розв’язування тригонометричних рівнянь : √2 sin x + √2 cos x =2​

Answer 1

Ответ: $\dfrac\pi4 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Пошаговое объяснение:

$\sqrt2 \sin x+ \sqrt2 \cos x=2\\\dfrac{\sqrt2}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt2}{2} \cos x=1\\\sin \dfrac\pi4 \sin x+\cos \dfrac\pi4 \cos x=1\\\cos \left( x-\dfrac\pi4 \right)=1\\x-\dfrac\pi4 = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac\pi4 +2\pi k$

Answer 2

Для розв'язання тригонометричних рівнянь, таких як дане вам рівняння, ми можемо скористатися певними тригонометричними тотожностями та властивостями. У вашому рівнянні ми маємо √2 sin(x) + √2 cos(x) = 2.

Щоб спростити це рівняння, ми можемо поділити обидві його частини на √2. Отримаємо:

sin(x) + cos(x) = 2/√2.

Ми можемо скористатися тригонометричною тотожністю sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y). Застосуємо цю тотожність до нашого рівняння. Зробимо x + y = π/4, де y - це кут, для якого sin(y) = 1/√2 та cos(y) = 1/√2. Тоді ми матимемо:

sin(x + π/4) = sin(x)cos(π/4) + cos(x)sin(π/4).

sin(x + π/4) = (1/√2)(1/√2) + (1/√2)(1/√2).

sin(x + π/4) = 1/2 + 1/2.

sin(x + π/4) = 1.

Тепер, якщо sin(x + π/4) = 1, то x + π/4 = π/2 + 2kπ, де k - це ціле число. Розв'яжемо це рівняння для x:

x = π/2 - π/4 + 2kπ.

x = π/4 + 2kπ.

Отже, розв'язками заданого тригонометричного рівняння є всі значення x, які можна отримати з формули x = π/4 + 2kπ, де k - ціле число.