Question

Определите площадь равнобокой трапеции, высота которой 10 и диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. ​

Answer 1

Ответ:  100 .

Трапеция АВСД , АВ=СД , высота h=10 ,  АС⊥ВД . Найти S .

Проведём высоту НР через точку О - точку пересечения диагоналей трапеции. Обозначим основания  а=АД , b=ВС .

Рассм. ΔАСД и ΔАВД . Они равны, так как АД - общая сторона , АВ=СД по условию, ∠А=∠Д , как углы при основании равнобокой трапеции.  

Из равенства треугольников следует равенство  ∠САД=∠ВДА    ⇒   ΔАОД - равнобедренный  и  АО=ОД . К тому же в этом тр-ке ∠АОД=90° . Значит высота ОН является и медианой , АН=НД=a/2 .

Но медиана, проведённая из прямого угла на гипотенузу, равна половине гипотенузы , ОН=1/2*АВ=a/2 .

Так как АО=ОД и в равнобокой трапеции диагонали равны АС=ВД , то и ВО=СО ( так как  ВО=ВД-ОД=АС-ОA=ОС )  ⇒  ΔВОС тоже равнобедренный и прямоугольный. И его высота ОР явл. медианой , аналогично получаем, что  ОР=ВО=ОС=b/2 .

Тогда высота трапеции равна   $h=HP=OH+OP=\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{2}=\dfrac{a+b}{2}$  .

Запишем, чему равна площадь трапеции .

$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot HP=\displaystyle \frac{a+b}{2}\cdot (OH+OP)=\frac{a+b}{2}\cdot \Big(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\Big)=h\cdot h=h^2\\\\\\S=h^2=10^2=100$

P.S. Попутно доказано, что в равнобокой трапеции , у которой перпендикулярны диагонали, высота трапеции равна полусумме оснований ( средней линии) , и площадь такой трапеции равна квадрату высоты .

Answer 2

Ответ:

h²

Пошаговое объяснение:

ОМ и ОК -  эти высоты, следовательно, угол AОК = 45 градусов, угол ВОМ = 45 градусов.

Также треугольники АОК и ВОМ  прямые и равнобедренные.

Возьмем АД за большее основание, ну а ВС - меньшее.

Получается, что ОК = АК = а/2,  ОМ = ВМ = b/2.

Также эти отрезки в сумме дают высоту отрезка MK.

Это средняя линия нашей трапеции:(a+b)/2=h

Теперь мы можем найти площадь:

S = (a+b)h/2 = h * h = h^2 = 10^2 = 100.

Ответ:  100.

Answer 3

Для того, чтобы найти площадь равнобокой трапеции, у которой высота равна 10 и диагонали взаимно перпендикулярны, можно использовать следующие формулы:

- Площадь равнобокой трапеции равна квадрату её высоты: S = h^2 - Длина диагонали равнобокой трапеции равна удвоенной длине боковой стороны: d = 2c - Длина боковой стороны равнобокой трапеции равна половине длины диагонали: c = d/2

Используя эти формулы, можно решить задачу следующим образом:

- Пусть d - длина диагонали трапеции, тогда по формуле c = d/2 получаем, что c = d/2 - Подставляем значение c в формулу d = 2c и получаем, что d = 2(d/2) = d - Подставляем значение d в формулу S = h^2 и получаем, что S = h^2 = 10^2 = 100

Ответ: площадь равнобокой трапеции, у которой высота равна 10 и диагонали взаимно перпендикулярны, равна 100.