Question

Відомо, що х+у=8; де x>0, у>0 Знайдіть найменше значення суми 1/х+1/у​

Answer 1

Ответ:

1/4 + 1/4 = 1/2

Пошаговое объяснение:

Щоб знайти найменше значення суми 1/x + 1/y, де x і y - додатні числа і x + y = 8, ми можемо використати метод мінімізації функції.

Сума 1/x + 1/y може бути виразжена як функція однієї змінної, наприклад, x. Ми використовуємо обмеження x + y = 8, щоб знайти y = 8 - x.

Тоді сума 1/x + 1/y буде рівна:

1/x + 1/(8 - x)

Тепер ми можемо знайти похідну цієї функції щодо x і прирівняти її до нуля, щоб знайти точку мінімуму:

d/dx (1/x + 1/(8 - x)) = 0

Для вирішення цього рівняння використовуємо правило ланцюга:

-1/x^2 - 1/(8 - x)^2 * (-1) = 0

Тепер спростимо це рівняння:

1/x^2 = 1/(8 - x)^2

x^2 = (8 - x)^2

x^2 = 64 - 16x + x^2

16x = 64

x = 4

Отже, знайшли значення x, при якому сума 1/x + 1/y найменша. Тепер ми можемо знайти відповідне значення y:

x + y = 8

4 + y = 8

y = 8 - 4

y = 4

Таким чином, найменше значення суми 1/x + 1/y відповідає x = 4 і y = 4, і воно дорівнює:

1/4 + 1/4 = 1/2

Answer 2

Для знаходження найменшого значення виразу \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) при умові \( x > 0 \) та \( y > 0 \), можна скористатися методом мінімізації функції. Давайте спробуємо використати метод підстановки.

Маємо дане рівняння: \( x + y = 8 \).

Метод підстановки передбачає використання одного рівняння для виразу однієї змінної через іншу і підстановки цього виразу в друге рівняння.

З першого рівняння виразимо, наприклад, \( y \): \[ y = 8 - x \].

Тепер підставимо це значення у вираз \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \): \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{8 - x} \].

Ця сума представляє собою функцію однієї змінної (\( x \)). Для знаходження мінімального значення цієї функції можна взяти похідну від неї, прирівняти до нуля і розв'язати рівняння.

Знайдемо похідну від \( \frac{1}{x} + \frac{1}{8 - x} \): \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{8 - x} \right) \].

Обчислимо цю похідну та прирівняємо до нуля, а потім розв'яжемо рівняння для знаходження критичних точок.

\[ -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(8 - x)^2} = 0 \].

Розв'язавши це рівняння, отримаємо значення \( x \). Після знаходження \( x \) можна підставити його у вираз для \( y \) та визначити значення \( y \).

Пам'ятайте, що ми перевіряємо, чи маємо мінімум, тобто друга похідна повинна бути додатною в критичних точках.

Це складний процес, і розв'язання може бути числовим або аналітичним, в залежності від конкретного виразу.