Question

1. Дано трикутник АВС. Сторона АВ = 6 см, ВС = 4 см, а кут між ними 120 0 . Знайти сторону АС і площу трикутника. 2. Дано трикутник АВС, в якому кут А=45 0 , кут С=60 0 , сторона АВ = см. Знайти довжину сторони ВС.

Answer 1

1. Дано трікутник ABC: AB = 6 см, BC = 4 см, кут між ними 120°. Знайдемо сторону AC і площу трікутника.

Для знаходження сторони AC можемо скористатися законом косинусів:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) \]

\[ AC^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(120°) \]

Знаходимо значення косинуса для 120°. Зазвичай, вживаються позначення:

\[ \cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2} \]

\[ AC^2 = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]

\[ AC^2 = 52 + 24 \]

\[ AC^2 = 76 \]

\[ AC = \sqrt{76} \]

\[ AC = 2\sqrt{19} \] см

Тепер, коли ми знаємо сторону AC, можемо знайти площу трікутника за формулою Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)} \]

де \( p \) - півпериметр.

\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} \]

\[ p = \frac{6 + 4 + 2\sqrt{19}}{2} \]

\[ p = 5 + \sqrt{19} \]

\[ S = \sqrt{(5 + \sqrt{19}) \cdot (5 - \sqrt{19}) \cdot (1) \cdot (2\sqrt{19})} \]

\[ S = \sqrt{(5^2 - 19) \cdot (2\sqrt{19})} \]

\[ S = \sqrt{156} \]

\[ S = 2\sqrt{39} \] см²

2. Дано трікутник ABC, в якому кут А = 45°, кут С = 60°, сторона AB = cм. Знайдемо довжину сторони BC.

Оскільки сума всіх кутів у трікутнику дорівнює 180°, можемо знайти третій кут:

\[ \angle B = 180° - \angle A - \angle C \]

\[ \angle B = 180° - 45° - 60° \]

\[ \angle B = 75° \]

Тепер, ми можемо використати закон синусів:

\[ \frac{AB}{\sin(\angle A)} = \frac{BC}{\sin(\angle B)} \]

\[ \frac{AB}{\sin(45°)} = \frac{BC}{\sin(75°)} \]

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

\[ BC = \frac{AB \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} \]

Таким чином, довжина сторони BC:

\[ BC = \frac{AB \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} \]