Question

Произведение трех положительных чисел x, y и z равно единице. Доказать, что x + y + z ≥ 3.

Answer 1

Из условия известно что

$xyz = 1$

тогда верно следующее:

$\sqrt[3]{xyz} = \sqrt[3]{1} = 1$

Из неравенства Коши о средних получаем:

$\sqrt[3]{xyz} \leqslant \frac{x + y + z}{3}$

$\sqrt[3]{xyz} = 1 \: \: \: =>$

$1 \leqslant \frac{x + y + z}{3}$

Умножая обе части неравенства на 3 получаем

$x + y + z \geqslant 3$

Готово!!!

Answer 2

Дано, что произведение трех положительных чисел x, y и z равно единице, то есть x * y * z = 1.

Нам нужно доказать, что x + y + z ≥ 3.

Для начала заметим, что среднее геометрическое трех положительных чисел всегда больше или равно их среднему арифметическому. То есть (x * y * z)^(1/3) ≥ (x + y + z)/3.

Из заданного условия следует, что (x * y * z)^(1/3) = 1^(1/3) = 1.

Таким образом, получаем неравенство 1 ≥ (x + y + z)/3.

Умножим обе части неравенства на 3, получим 3 ≥ x + y + z.

Таким образом, доказано, что x + y + z ≥ 3.