Question

СРОЧНО! Помогите с математикой! Длина одной стороны прямоугольника √x+1 см (корень из x+1). Длина диагонали √x+50 см (корень из x+50). Вычислите площадь прямоугольника, если его периметр равен x см.

Answer 1

35 cм2

Решение задания прилагаю

Answer 2

Давайте обозначим длину одной стороны прямоугольника через \( a \) (в см). Тогда, длина диагонали будет равна \( \sqrt{x + 1} \) (для одной стороны) и \( \sqrt{x + 50} \) (для другой стороны).

Сначала найдем выражение для длины второй стороны прямоугольника. Мы знаем, что диагональ прямоугольника — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а стороны прямоугольника — это его катеты. Используем теорему Пифагора:

\[ \sqrt{x + 1}^2 + a^2 = \sqrt{x + 50}^2 \]

Раскроем скобки:

\[ x + 1 + a^2 = x + 50 \]

Теперь выразим длину второй стороны прямоугольника:

\[ a^2 = 49 \quad \Rightarrow \quad a = 7 \]

Таким образом, мы нашли длины сторон прямоугольника: одна сторона \( a = 7 \) см, а вторая сторона \( \sqrt{x + 1} \) см.

Теперь выразим периметр прямоугольника:

\[ P = 2a + 2\sqrt{x + 1} = x \]

Подставим значения:

\[ 2 \cdot 7 + 2\sqrt{x + 1} = x \]

\[ 14 + 2\sqrt{x + 1} = x \]

Выразим \( \sqrt{x + 1} \):

\[ 2\sqrt{x + 1} = x - 14 \]

\[ \sqrt{x + 1} = \frac{x - 14}{2} \]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ x + 1 = \frac{(x - 14)^2}{4} \]

Упростим:

\[ 4x + 4 = x^2 - 28x + 196 \]

\[ x^2 - 32x + 192 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Для удобства, поделим все на 4:

\[ \frac{x^2}{4} - 8x + 48 = 0 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[ x^2 - 32x + 192 = 0 \]

Факторизуем его или воспользуемся квадратным корнем:

\[ (x - 24)(x - 8) = 0 \]

Таким образом, у нас два возможных значения \( x \): 24 и 8.

Теперь, когда у нас есть значения \( x \), мы можем найти длину сторон прямоугольника и его площадь:

1. Для \( x = 24 \): - Длина одной стороны \( a = 7 \) см - Длина второй стороны \( \sqrt{x + 1} = \sqrt{25} = 5 \) см - Площадь прямоугольника: \( S = a \cdot \sqrt{x + 1} = 7 \cdot 5 = 35 \) см²

2. Для \( x = 8 \): - Длина одной стороны \( a = 7 \) см - Длина второй стороны \( \sqrt{x + 1} = \sqrt{9} = 3 \) см - Площадь прямоугольника: \( S = a \cdot \sqrt{x + 1} = 7 \cdot 3 = 21 \) см²

Таким образом, есть два возможных значения для площади прямоугольника: 35 см² и 21 см².