Question

Найдите функцию, удовлетворяющую тождеству 2f(x) + f(1 - x) = 3x^2. Вычислите f(5).

Answer 1

Ответ:

f(x) = x² + 2x - 1

f(5) = 34

Пошаговое объяснение:

Заметим, что данная функция не содержит элементарных функций, отличных от степенных. Также заметим, что максимальная степень переменной не превосходит 2. Докажем это от противного: пусть $f(x)=kx^n+g(x),n>2$. Тогда $2f(x)+f(1-x)=2kx^n+2g(x)+k(1-x)^n+g(1-x)=\\=2kx^n\pm kx^n+...=0\cdot x^n+3x^2$

Равенство возможно только при k = 0, то есть функция не содержит переменную в степени выше второй. Значит, функцию можно представить, как $f(x)=ax^2+bx+c$

$2ax^2+2bx+2c+a(1-x)^2+b(1-x)+c=3x^2\\3ax^2+(b-2a)x+3c+b+a=3x^2+0\cdot x+0\\\begin{cases}3a=3,\\b-2a=0,\\3c+b+a=0\end{cases}\begin{cases}a=1,\\b=2,\\c=-1\end{cases}$

Получаем $f(x)=x^2+2x-1, f(5)=5^2+2\cdot5-1=34$

Answer 2

Дано тождество: 2f(x) + f(1 - x) = 3x^2.

Для нахождения функции, удовлетворяющей этому тождеству, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Подставим x = 1 - x в исходное тождество и получим: 2f(1 - x) + f(x) = 3(1 - x)^2.

2. Умножим исходное тождество на 2 и вычтем из него полученное равенство из предыдущего шага: 4f(x) - 2f(1 - x) = 6x^2 - 6(1 - x)^2.

3. Просуммируем полученные равенства и получим: 6f(x) = 9x^2 - 6(1 - x)^2.

4. Раскроем скобки в правой части уравнения: 6f(x) = 9x^2 - 6(1 - 2x + x^2).

5. Упростим правую часть уравнения: 6f(x) = 9x^2 - 6 + 12x - 6x^2.

6. Соберем все члены с x^2 вместе, а все свободные члены вместе: 6f(x) = 3x^2 + 12x - 6.

7. Разделим обе части уравнения на 6 и получим: f(x) = (1/2)x^2 + 2x - 1.

Таким образом, функция f(x), удовлетворяющая данному тождеству, равна (1/2)x^2 + 2x - 1.

Для вычисления f(5) подставляем x = 5 в полученную функцию: f(5) = (1/2)(5)^2 + 2(5) - 1 = (1/2)(25) + 10 - 1 = 12.5 + 10 - 1 = 21.5.

Итак, f(5) = 21.5.