Question

при каком наибольшем К можно утверждать что при любой покраске в чёрный цвет К белого прямоугольника 10 × 10 обязательно останется целиком белый квадрат 3 × 3 со сторонами идущими по линиям сетки

Answer 1

Пошаговое объяснение:

10×10=100

3×3=9

100-9=81

Answer 2

This is a mathematical problem that requires some logical thinking and combinatorial analysis. I will try to explain the solution in detail.

First, let us consider the case when K = 9. This means that we can paint 9 cells of the white rectangle 10 × 10 in black. Is it possible to do this in such a way that there is no white square 3 × 3 left? The answer is yes. One possible way is to paint the cells in the following pattern:

| | | | | | | | | | | | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

The black cells are marked with X. You can see that there is no white square 3 × 3 left, because every 3 × 3 subrectangle contains at least one black cell.

Now, let us consider the case when K = 10. This means that we can paint 10 cells of the white rectangle 10 × 10 in black. Is it possible

Answer 3

Для решения данной задачи можно воспользоваться методом от противного. Допустим, мы покрасили прямоугольник 10×10 в чёрный цвет, и ни один 3×3 квадрат не остался белым. Тогда можно заметить, что каждый 3×3 квадрат должен содержать хотя бы одну черную клетку. Таким образом, в каждом 3×3 квадрате будет не менее 9 черных клеток, а всего в прямоугольнике 10×10 - 100 клеток. Значит, если ни один 3×3 квадрат не остался белым, то весь прямоугольник должен быть покрыт 3×3 квадратами, и каждый из них содержит не менее 9 черных клеток.

Теперь посчитаем, сколько 3×3 квадратов можно поместить в прямоугольник 10×10. В прямоугольнике 10×10 можно разместить 8×8 квадратов 3×3, то есть 64 квадрата. Таким образом, если мы покрасим прямоугольник 10×10 в черный цвет, то как минимум 36 клеток останутся белыми (100 - 64 = 36).

Итак, мы пришли к выводу, что если мы покрасим прямоугольник 10×10 в черный цвет, то обязательно останется целиком белый квадрат 3×3. Таким образом, наибольшее значение К, при котором это утверждение верно, равно 10.