Question

При каком наибольшем k можно утверждать, что при любой покраске в черный цвет k клеток белого, прямоугольника 7 х 13 обязательно останется целиком белый квадрат 4 х 4 со сторонами, идущими по линиям сетки?​

Answer 1

Ответ:

54

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с условием. У нас есть прямоугольник 7x13, и мы красим клетки в черный цвет с определенным коэффициентом k. Нам нужно найти наибольшее значение k, при котором гарантируется, что прямоугольник после покраски все равно будет содержать белый квадрат 4x4, целиком состоящий из белых клеток.

Рассмотрим белый квадрат 4x4. Его верхний левый угол может быть в любом месте в пределах прямоугольника 7x13. Однако, если мы рассмотрим верхний левый угол белого квадрата 4x4 и попробуем закрасить клетки вокруг него (2 клетки сверху, 2 клетки сбоку), мы увидим, что каждая клетка этого квадрата имеет общую сторону с белым квадратом.

Таким образом, если мы хотим, чтобы белый квадрат 4x4 остался белым после покраски, каждая клетка вокруг него должна быть закрашена. Это создает новый квадрат 6x12 вокруг белого квадрата 4x4.

Теперь, если мы рассмотрим верхний левый угол этого нового квадрата 6x12 и поступим таким же образом, мы увидим, что каждая клетка вокруг белого квадрата 4x4 внутри квадрата 6x12 также должна быть закрашена. Это создает еще больший квадрат, и так далее.

Каждый раз, когда мы увеличиваем размер квадрата, у нас уменьшается количество клеток, которые мы можем закрасить. Мы хотим найти такое k, при котором мы сможем закрасить как можно больше клеток, но при этом белый квадрат 4x4 остается белым.

Кажется, что оптимальное k будет равно минимуму из двух величин: количество клеток в прямоугольнике 7x13 и количество клеток в белом квадрате 4x4, деленных на 2 (поскольку каждая клетка соседствует с двумя квадратами).

\[ k = \min\left(\frac{7 \times 13}{2}, \frac{4 \times 4}{2}\right) \]

\[ k = \min(45.5, 8) = 8 \]

Таким образом, при k ≤ 8 мы можем утверждать, что при любой покраске в черный цвет клеток белого прямоугольника 7x13 обязательно останется целиком белый квадрат 4x4.