Question

охотник имеющий 4 патрона стреляет по дичи до первого попадания или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.7 при каждом следующем выстреле уменьшается на 0.1. Составить закон распределения числа патронов израсходованных охотником , ее функцию распределения F(X) и построить ее график

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:Случайная величина X (число израсходованных патронов) может принимать 4 значения xi, i=1,2,3,4 : 1, 2, 3 и 4.

Вероятности их принятия:

P(X=1)=0.25 (вероятность того, что попал первым же патроном)

P(X=2)=0.75*0.25=0.1875 (1-ым промазал, 2-ым попал)

P(X=3)=0.75*0.75*0.25=0.140625 (1-ым и 2-ым промазал, 3-им попал)

P(X=4)=0.75*0.75*0.75*0.25+(0.75)^4=0.421875 (первыми 3-мя промазал и попал 4-ым, либо промазал всеми 4-мя).

Закон распределения - табличка со значениями и соответствующими вероятностями, а мат. ожидание M(X) равно:

M(X)=сумма по всем значениям i от xi*P(X=xi)=1*0.25+2*0.1875+3*0.140625+4*0.421875=2.734375.

Answer 2

Для составления закона распределения числа патронов, израсходованных охотником, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (выстрелов), где вероятность успеха (попадания) постоянна.

Пусть: - \( X \) - число патронов, израсходованных охотником, - \( p \) - вероятность попадания при одном выстреле (в данном случае 0.7), - \( q \) - вероятность промаха при одном выстреле (\( q = 1 - p \)), - \( n \) - количество патронов (в данном случае 4).

Тогда закон распределения биномиальной случайной величины \( X \) выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C_n^k \) - биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

В нашем случае \( n = 4 \), \( p = 0.7 \), \( q = 0.3 \).

Теперь мы можем составить функцию распределения \( F(X) \), которая представляет собой сумму вероятностей \( P(X = k) \) для всех значений \( k \) от 0 до \( n \):

\[ F(X) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) \]

Теперь давайте построим график этой функции распределения для \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \).