Question

Даю много баллов, решите! Производится последовательный пуск ракет по цели до первого попадания, или до израсходования боевого комплекта, состоящего из пяти ракет. Вероятность попадания при каждом запуске равна 0,4. Дискретная случайная величина X – число пусков ракет. Найти: 1) ряд распределения случайной величины X; 2) функцию распределения F(x) и ее график; 3) математическое ожидание; 4) дисперсию и среднеквадратическое отклонение; 5) моду; 6) функцию распределения F(x) и ее график.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

1) ряд распределения числа попаданий : значение величини- вероятность

0 - 0,6. ; 1 - 0,4×0,6=0,24. ; 2- 0,4×0,4×0,6=0.096; 3 - 0.0384; 4 - 0.01536; 5 - 0.01024

Функция распределения F(x)=Р{х<Х}

х. - F(x) : x<0. - 0; 0 - 0,6; 1 - 0,84; 2 - 0.936; 3 - 0.9744 ; 4 - 0.98976; 5 - 1; … - 1,

Математическое ожидание

М(х)=0×0,6+1×0,24+2×0,096+3×0,0384+4×0,01536+5×0,01024=0.65984

Дисперсия

М(х^2)=0×0,6+1×0,24+2×0,096+9×0,0384+16×0,01536+ 25×0,01024=1.25536

D(x)=M(x^2)-(M(x))^2=0.8516511744

Среднеквадратическое отклонение

√D(x)=√(0.8516511744)= 0.9228494863

Мода- значение с наибольшей вероятностью, в нашем случае мода=0

Answer 2

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (пусков ракет), и вероятность успеха (попадания) остается постоянной.

Для биномиального распределения характерны следующие параметры:

• n - количество испытаний (в данном случае - число пусков ракет, равное 5).
• p - вероятность успеха (в данном случае - вероятность попадания, равная 0,4).

1. Ряд распределения случайной величины X: Распределение случайной величины X будет иметь следующий вид:

P(X = x) = C(n, x) * p^x * (1-p)^(n-x)

где C(n, x) - биномиальный коэффициент (число сочетаний), определяется как C(n, x) = n! / (x! * (n-x)!), где "!" обозначает факториал.

Теперь мы можем вычислить P(X = x) для каждого x от 0 до 5.

2. Функция распределения F(x) и ее график: Функция распределения F(x) для биномиального распределения определяется как сумма вероятностей P(X <= x).

F(x) = Σ[ P(X = i) ] для i от 0 до x

3. Математическое ожидание: Математическое ожидание для биномиального распределения вычисляется по формуле:

E(X) = n * p

В нашем случае, E(X) = 5 * 0,4 = 2.

4. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение: Дисперсия для биномиального распределения вычисляется по формуле:

Var(X) = n * p * (1-p)

Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) равно квадратному корню из дисперсии:

σ = √Var(X)

5. Мода: Мода для биномиального распределения равна наибольшему значению x, при котором P(X = x) максимальна. В данном случае, это значение равно p * (n + 1) = 0,4 * (5 + 1) = 2,4. Модой будет ближайшее меньшее целое число, то есть 2.

6. Функция распределения F(x) и ее график: F(x) была определена в пункте 2. Вычислите ее значения для каждого x и постройте график F(x), где по оси X будет число пусков ракет (X), а по оси Y - значения F(X).

С учетом всех вышеперечисленных вычислений, вы можете построить ряд распределения, функцию распределения и график функции распределения для данной случайной величины.