Question

Имея боезапас из пяти патронов, стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна p=1/3. Построить ряд распределения для дискретной случайной величины Х – числа израсходованных патронов, найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Answer 1

хi  1       2       3        4           5  

____________________________

рi  1/3    2/9    4/27   8/81      16/81

р-1/3, q=1-1/3=2/3-вероятность промаха.

р₁=1/3; р₂=(1/3)*(2/3)=2/9; р₃=(1/3)*(2/3)²=4/27; р₄=(1/3)*(2/3)³=8/81; р₅=(2/3)⁴=16/81

Проверка: сумма вероятностей равна (1/3)+(2/9)+(4/27)+(8/81)+(16/81)=

(81+54+24+36+48)/243=243/243=1

Ряд распределения построен верно.

Мат. ожидание равно М(х)=

1*(1/3)+2*(2/9)+3*(4/27)+4*(8/81)+5*(16/81)=

(81+108+108+96+240)/243=633/243=211/81; (М(х))²=(211/81)=44521/6561;

Найдем мат. ожидание от х²

хi²  1       4      9      16        25

____________________________

рi  1/3    2/9    4/27   8/81      16/81

М(х²)=1*(1/3)+4*(2/9)+9*(4/27)+16*(8/81)+25*(16/81)=

(27+72+108+128+400)/81=735/81=245/27;

Дисперсия D(x)=М(х²)-(М(х))²=245/27 - 44521/6561=15014/6561≈2.2884

Среднеквадратическое отклонение δ=√D(x)=√2.2884≈1.5

Answer 2

#### Problem Statement У стрелка есть боезапас из пяти патронов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна p = 1/3. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Нам нужно построить ряд распределения для дискретной случайной величины X, которая представляет собой число израсходованных патронов. Затем мы найдем математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для этой случайной величины. #### Solution Для построения ряда распределения для случайной величины X, мы должны определить вероятности для каждого значения X. В данном случае, X представляет собой число израсходованных патронов до первого попадания. Мы можем представить X как геометрическое распределение с параметром p = 1/3. Геометрическое распределение моделирует количество неудачных попыток до первого успешного события. Формула для вероятности геометрического распределения: **P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p** где: - P(X=k) - вероятность того, что X равно k - p - вероятность успеха в каждой попытке (в данном случае, вероятность попадания при каждом выстреле) Теперь мы можем построить ряд распределения для X: | X | P(X=k) | | --- | ------ | | 1 | 1/3 | | 2 | (2/3) * (1/3) | | 3 | (2/3)^2 * (1/3) | | 4 | (2/3)^3 * (1/3) | | 5 | (2/3)^4 * (1/3) | Теперь найдем математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для случайной величины X. Математическое ожидание (среднее значение) для геометрического распределения: **E(X) = 1/p** В данном случае, p = 1/3, поэтому: **E(X) = 1 / (1/3) = 3** Дисперсия для геометрического распределения: **Var(X) = (1-p) / (p^2)** В данном случае, p = 1/3, поэтому: **Var(X) = (1 - 1/3) / ((1/3)^2) = 6** Среднеквадратическое отклонение для геометрического распределения: **SD(X) = sqrt(Var(X))** В данном случае: **SD(X) = sqrt(6)** Таким образом, ряд распределения для X будет выглядеть следующим образом: | X | P(X=k) | | --- | ------ | | 1 | 1/3 | | 2 | 2/9 | | 3 | 4/27 | | 4 | 8/81 | | 5 | 16/243 | Математическое ожидание (среднее значение) равно 3, дисперсия равна 6, а среднеквадратическое отклонение равно sqrt(6). #### References: - - Mar 10, 2017 - Mail.ru - - No title available - - Nov 16, 2017 - - Full text of "Game World Navigator #06 (014) [1998-06]" - - Untitled - - Jan 6, 2017 - - Apr 26, 2009 - - Dec 2, 2019