Question

Теория вероятности Стрелок ведёт стрельбу по мишени до первого попадания, имеябоезапас 3 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,9.Составить закон распределения случайной величины X – числа патронов, оставшихся неиспользованными. Найти его математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Очевидно, что случайная величина X может принимать значения 0, 1 и 2. Найдём соответствующие вероятности:

p0=(1-0,9)²*0,9+(1-0,9)³=0,01;

p1=(1-0,9)*0,9=0,09;

p2=0,9

Проверка: p1+p2+p3=1 - значит, вероятности найдены верно.

Составляем закон распределения случайной величины X:

xi       0       1       2  

pi    0,01  0,09  0,9  

Математическое ожидание M[X]=∑xi*pi=0*0,01+1*0,09+2*0,9=1,89.

Дисперсия D[X]=∑(xi-M[X])²*pi=(0-1,89)²*0,01+(1-1,89)²*0,09+(2-1,89)²*0,9=0,1178.

Среднее квадратическое отклонение σ[X]=√D[X]=√0,1179≈0,343.

Answer 2

Для данной задачи у нас есть случайная величина X, которая представляет собой количество неиспользованных патронов перед первым попаданием. X может принимать значения от 0 до 3 включительно, так как у нас есть 3 патрона в запасе.

1. Закон распределения случайной величины X:

Вероятность попасть с одного выстрела: $P(\text{попадание}) = 0.9$, а не попасть: $P(\text{не попадание}) = 1 - P(\text{попадание}) = 0.1$.

Закон распределения будет следующим:

$$\begin{align*} P(X = 0) &= P(\text{не попасть 3 раза}) = (0.1)^3 \\ P(X = 1) &= P(\text{попасть с первого выстрела}) = 0.9 \\ P(X = 2) &= P(\text{не попасть 1 раз, а потом попасть}) = 0.1 \times 0.9 \\ P(X = 3) &= P(\text{не попасть 2 раза, а потом попасть}) = 0.1^2 \times 0.9 \end{align*}$$

2. Математическое ожидание (ожидаемое количество неиспользованных патронов):

$$E(X) = \sum_{i=0}^3 X_i \cdot P(X_i)$$

где $X_i$ — значение случайной величины, $P(X_i)$ — вероятность этого значения.

$$\begin{align*} E(X) &= 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) \\ &= 0 \cdot (0.1)^3 + 1 \cdot 0.9 + 2 \cdot (0.1 \times 0.9) + 3 \cdot (0.1^2 \times 0.9) \\ &\approx 0.1 + 1.8 + 0.18 + 0.027 \\ &\approx 2.007. \end{align*}$$

3. Дисперсия:

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$

где $E(X^2) = \sum_{i=0}^3 X_i^2 \cdot P(X_i)$.

$$\begin{align*} E(X^2) &= 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) + 3^2 \cdot P(X = 3) \\ &= 0^2 \cdot (0.1)^3 + 1^2 \cdot 0.9 + 2^2 \cdot (0.1 \times 0.9) + 3^2 \cdot (0.1^2 \times 0.9) \\ &\approx 0.9 + 3.6 + 0.54 + 0.243 \\ &\approx 5.283. \end{align*}$$

Теперь вычислим дисперсию:

$$\begin{align*} \text{Var}(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 \\ &\approx 5.283 - (2.007)^2 \\ &\approx 5.283 - 4.028049 \\ &\approx 1.254951. \end{align*}$$

4. Среднее квадратическое отклонение:

$$\text{SD}(X) = \sqrt{\text{Var}(X)}$$

$$\text{SD}(X) \approx \sqrt{1.254951} \approx 1.121.$$

Таким образом, математическое ожидание $E(X) \approx 2.007$