Question

Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. ξξ - число оставшихся патронов. Составить ряд распределения случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение с.в., построить функцию распределения с.в., найти P(|ξ−m|≤σP(|ξ−m|≤σ.

Answer 1

Ответ:

Р(Е=0)=0.4×0.5=0.2

Р(Е=1)=0.4×0.5=0.2

Р(Е=2)=0.6

М=МЕ=0×0.2+1×0.2+2×0.6=1.4

ДЕ=0^2×0.2+1^2×0.2+2^3×0.6-1.4^2=0.64

Ответ:0.64

Answer 2

Для нахождения ряда распределения случайной величины ξ нужно рассмотреть все возможные значения числа оставшихся патронов.

При первом выстреле попадание может произойти, а может не произойти. Вероятность попадания - 0.6, вероятность промаха - 0.4. При втором выстреле попадание также может произойти или не произойти с вероятностями 0.5 и 0.5 соответственно. Аналогично, при третьем выстреле вероятность попадания - 0.4, вероятность промаха - 0.6.

Таким образом, ряд распределения случайной величины ξ будет иметь следующий вид:

ξ | 3 | 2 | 1 P | 0.4 | 0.3 | 0.3

где ξ - число оставшихся патронов, P - вероятность.

Для нахождения математического ожидания (математического среднего) обозначим случайную величину за ξ. Тогда математическое ожидание будет определяться следующим образом:

E(ξ) = Σ(ξ * P(ξ))

где Σ обозначает сумму. В нашем случае:

E(ξ) = (3 * 0.4) + (2 * 0.3) + (1 * 0.3) = 1.9

Дисперсия случайной величины ξ вычисляется по формуле:

D(ξ) = Σ((ξ - E(ξ))^2 * P(ξ))

где Σ обозначает сумму.

D(ξ) = ((3-1.9)^2 * 0.4) + ((2-1.9)^2 * 0.3) + ((1-1.9)^2 * 0.3) = 0.49

Среднее квадратичное отклонение случайной величины ξ равно квадратному корню из дисперсии:

σ(ξ) = √D(ξ) = √0.49 = 0.7

Функция распределения случайной величины ξ является суммой вероятностей всех значений ξ до данного значения. В нашем случае функция распределения будет иметь следующий вид:

F(0) = 0 (вероятность не может быть отрицательной) F(1) = 0.3 F(2) = 0.3 + 0.3 = 0.6 F(3) = 0.3 + 0.3 + 0.4 = 1 (вероятность не может быть больше 1)

Наконец, чтобы найти вероятность, что |ξ - E(ξ)| ≤ σ, нужно найти вероятность того, что ξ находится в промежутке от (E(ξ) - σ) до (E(ξ) + σ).

В нашем случае, это будет промежуток от (1.9 - 0.7) до (1.9 + 0.7), то есть от 1.2 до 2.6.

p(|ξ - E(ξ)| ≤ σ) = p(1.2 ≤ ξ ≤ 2.6) = P(ξ = 1) + P(ξ = 2) = 0.3 + 0.3 = 0.6