Question

Теория вероятности. Охотник, имеющий три патрона, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует все патроны. Считая, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8 , построить закон распределения для числа израсходованных патронов. Найти М(x) и D(x). Построить функцию распределения F(x) и ее график.

Answer 1

Ответ:

Случайная величина X (число израсходованных патронов) может принимать 4 значения xi, i=1,2,3,4 : 1, 2, 3 и 4.

Вероятности их принятия:

P(X=1)=0.25 (вероятность того, что попал первым же патроном)

P(X=2)=0.75*0.25=0.1875 (1-ым промазал, 2-ым попал)

P(X=3)=0.75*0.75*0.25=0.140625 (1-ым и 2-ым промазал, 3-им попал)

P(X=4)=0.75*0.75*0.75*0.25+(0.75)^4=0.421875 (первыми 3-мя промазал и попал 4-ым, либо промазал всеми 4-мя).

Закон распределения - табличка со значениями и соответствующими вероятностями, а мат. ожидание M(X) равно:

M(X)=сумма по всем значениям i от xi*P(X=xi)=1*0.25+2*0.1875+3*0.140625+4*0.421875=2.734375

Answer 2

Теория вероятности: Закон распределения числа израсходованных патронов

Для построения закона распределения числа израсходованных патронов в данной задаче, мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение применяется в ситуациях, когда есть два возможных исхода (попадание или промах) и вероятность каждого исхода остается постоянной.

В данном случае, охотник имеет три патрона и стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует все патроны. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.8, а вероятность промаха равна 0.2.

Пусть X - случайная величина, представляющая число израсходованных патронов. Мы хотим построить закон распределения для X.

Закон распределения

Закон распределения для X будет иметь следующий вид:

X = 1, с вероятностью P(X=1) = 0.8 (попадание с первого выстрела) X = 2, с вероятностью P(X=2) = 0.2 * 0.8 (промах с первого выстрела, затем попадание со второго выстрела) X = 3, с вероятностью P(X=3) = 0.2 * 0.2 * 0.8 (промах с первого и второго выстрелов, затем попадание с третьего выстрела)

Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание (М(x)) и дисперсия (D(x)) случайной величины X могут быть вычислены следующим образом:

М(x) = Σ(x * P(X=x)) = 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) + 3 * P(X=3)

D(x) = Σ((x - М(x))^2 * P(X=x)) = (1 - М(x))^2 * P(X=1) + (2 - М(x))^2 * P(X=2) + (3 - М(x))^2 * P(X=3)

Вычислим М(x) и D(x) для данной задачи:

М(x) = 1 * 0.8 + 2 * (0.2 * 0.8) + 3 * (0.2 * 0.2 * 0.8) = 1.56

D(x) = (1 - 1.56)^2 * 0.8 + (2 - 1.56)^2 * (0.2 * 0.8) + (3 - 1.56)^2 * (0.2 * 0.2 * 0.8) = 0.3744

Функция распределения и ее график

Функция распределения F(x) для данной задачи будет иметь следующий вид:

F(x) = P(X ≤ x)

Для каждого значения x, мы можем вычислить F(x) следующим образом:

F(1) = P(X ≤ 1) = P(X=1) = 0.8 F(2) = P(X ≤ 2) = P(X=1) + P(X=2) = 0.8 + (0.2 * 0.8) = 0.96 F(3) = P(X ≤ 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.8 + (0.2 * 0.8) + (0.2 * 0.2 * 0.8) = 1

Теперь мы можем построить график функции распределения F(x):

| x | F(x) | | --- | ---- | | 1 | 0.8 | | 2 | 0.96 | | 3 | 1 |

График функции распределения F(x) будет выглядеть как лестница, где значение F(x) увеличивается на ступеньке при каждом увеличении x.

Важно отметить, что предоставленная информация основана на предоставленных источниках