Question

Даю 20 балів!!! 3.Вероятность крупного выигрыша в некоторой лотерее равна 0.0015. Найти вероятность того, что на 4000 участников хотя бы один получит крупный выигрыш. Определить наиболее вероятное количество крупных выигрышей.

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться дополнением события. Обозначим событие \(A\) как "получение крупного выигрыша", а событие \(\overline{A}\) как "не получение крупного выигрыша" (то есть проигрыш). Тогда вероятность того, что один участник не получит крупного выигрыша, равна \(P(\overline{A}) = 1 - 0.0015 = 0.9985\).

Вероятность того, что ни один из 4000 участников не получит крупного выигрыша, равна \(P(\overline{A})^{4000} = (0.9985)^{4000}\). Теперь мы можем найти вероятность того, что хотя бы один участник получит крупный выигрыш:

\[P(\text{хотя бы один крупный выигрыш}) = 1 - P(\overline{A})^{4000}.\]

Теперь вычислим это значение:

\[P(\text{хотя бы один крупный выигрыш}) = 1 - (0.9985)^{4000} \approx 0.0578.\]

Таким образом, вероятность того, что на 4000 участников хотя бы один получит крупный выигрыш, составляет приблизительно 0.0578 или 5.78%.

Чтобы определить наиболее вероятное количество крупных выигрышей, мы можем воспользоваться биномиальным распределением, где \(n\) - количество участников (в данном случае, 4000), \(p\) - вероятность успеха (получения крупного выигрыша), \(k\) - количество успехов (крупных выигрышей).

Формула биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k},\]

где \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\).

Находим наиболее вероятное количество крупных выигрышей (\(k\)):

\[k = np \approx 4000 \cdot 0.0015 = 6.\]

Таким образом, наиболее вероятное количество крупных выигрышей равно 6.